- Seja
o espaço vetorial dos polinômios
com coeficientes
reais, na variável
. Mostre que a aplicação
que associa cada polinômio
a sua derivada
é uma transformação linear.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial dos polinômios com coeficientes reais
e a aplicação
definida por associar a cada polinômio
a sua derivada
. Foi fornecida a expressão da derivada
O que nos pede: mostrar que
é uma transformação linear.
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
- Para um polinômio genérico vamos usar a forma padrão
(coeficientes reais ). - A regra de derivação a usar é a apresentada termo a termo: a derivada de
é . - Precisamos provar as propriedades que definem linearidade (listadas no passo seguinte).
Passo 2
Lembrando a definição prática de transformação linear: uma aplicação
entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem
Aqui os “vetores” são polinômios e os escalares são números reais. Também vou usar que a soma e a multiplicação por escalar em
atuam coeficiente a coeficiente, isto é, se
então, tomando
e completando com zeros quando necessário,
e para
Passo 3
Prova da aditividade
.
Começo escrevendo conforme acima e aplicando a derivada termo a termo:
Começo escrevendo
Agora distribuo a soma dentro do coeficiente:
As duas somas à direita são exatamente
e
(se alguns
ou
forem zero isso continua valendo). Portanto
o que mostra a aditividade.
Passo 4
Prova da homogeneidade
.
Se e
, então
Se
Aplicando
obtemos
Como
é número real, pode sair da soma/coeficiente:
Logo
Passo 5
Como verificamos explicitamente as duas propriedades exigidas (aditividade e homogeneidade), concluímos que
é linear. Uma observação adicional e útil na prova: a derivação atua termo a termo, e as operações de soma e multiplicação por escalar em
também atuam termo a termo, por isso a derivação “passa através” da soma e do escalar — é a razão intuitiva pela qual
é linear. Um pequeno exemplo concreto para fixar: para
e
tem-se
e
mostrando na prática que
.
Resposta
A aplicação
é linear.