1. Seja \mathbb{R}[x] o espaço vetorial dos polinômios
p(x)=\sum_{i=1}^{n} a_{i} x, \quad n \in \mathbb{N},
com coeficientes a_{i} reais, na variável x. Mostre que a aplicação
D: \mathbb{R}[x] \rightarrow \mathbb{R}[x],
que associa cada polinômio p a sua derivada
D(p(x))=p^{\prime}(x)=\sum_{i=1}^{n} i a_{i} x^{i-1},
é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial dos polinômios com coeficientes reais \mathbb{R}[x] e a aplicação
D:\mathbb{R}[x]\to\mathbb{R}[x]
definida por associar a cada polinômio p a sua derivada D(p)=p'. Foi fornecida a expressão da derivada
D(p(x))=p'(x)=\sum_{i=1}^{n} i a_{i} x^{i-1}.
O que nos pede: mostrar que D é uma transformação linear.
Informações relevantes do enunciado:
  • Para um polinômio genérico vamos usar a forma padrão \displaystyle p(x)=\sum_{i=0}^{n} a_i x^i (coeficientes reais a_i).
  • A regra de derivação a usar é a apresentada termo a termo: a derivada de a_i x^i é i a_i x^{i-1}.
  • Precisamos provar as propriedades que definem linearidade (listadas no passo seguinte).

Passo 2

Lembrando a definição prática de transformação linear: uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores u,v e qualquer escalar c, valem
T(u+v)=T(u)+T(v) \qquad\text{e}\qquad T(cu)=c\,T(u).
Aqui os “vetores” são polinômios e os escalares são números reais. Também vou usar que a soma e a multiplicação por escalar em \mathbb{R}[x] atuam coeficiente a coeficiente, isto é, se
p(x)=\sum_{i=0}^{n} a_i x^i,\qquad q(x)=\sum_{i=0}^{m} b_i x^i,
então, tomando N=\max(n,m) e completando com zeros quando necessário,
(p+q)(x)=\sum_{i=0}^{N} (a_i+b_i)x^i,
e para c\in\mathbb{R}
(c\,p)(x)=\sum_{i=0}^{n} (c a_i) x^i.

Passo 3

Prova da aditividade D(p+q)=D(p)+D(q).
Começo escrevendo (p+q)(x) conforme acima e aplicando a derivada termo a termo:
D(p+q)(x)=(p+q)'(x)=\sum_{i=1}^{N} i (a_i+b_i) x^{i-1}.
Agora distribuo a soma dentro do coeficiente:
\sum_{i=1}^{N} i (a_i+b_i) x^{i-1} =\sum_{i=1}^{N} \big(i a_i\big) x^{i-1} + \sum_{i=1}^{N} \big(i b_i\big) x^{i-1}.
As duas somas à direita são exatamente p'(x) e q'(x) (se alguns a_i ou b_i forem zero isso continua valendo). Portanto
D(p+q)(x)=p'(x)+q'(x)=D(p)(x)+D(q)(x),
o que mostra a aditividade.

Passo 4

Prova da homogeneidade D(c p)=c\,D(p).
Se p(x)=\sum_{i=0}^{n} a_i x^i e c\in\mathbb{R}, então
(c p)(x)=\sum_{i=0}^{n} (c a_i)x^i.
Aplicando D obtemos
D(c p)(x)=(c p)'(x)=\sum_{i=1}^{n} i (c a_i) x^{i-1}.
Como c é número real, pode sair da soma/coeficiente:
\sum_{i=1}^{n} i (c a_i) x^{i-1} = c \sum_{i=1}^{n} i a_i x^{i-1} = c\,p'(x).
Logo
D(c p)=c\,D(p).

Passo 5

Como verificamos explicitamente as duas propriedades exigidas (aditividade e homogeneidade), concluímos que D é linear. Uma observação adicional e útil na prova: a derivação atua termo a termo, e as operações de soma e multiplicação por escalar em \mathbb{R}[x] também atuam termo a termo, por isso a derivação “passa através” da soma e do escalar — é a razão intuitiva pela qual D é linear. Um pequeno exemplo concreto para fixar: para p(x)=3x^2+2x+5 e q(x)=x^3-4 tem-se
(p+q)'(x)=(3x^2+2x+5 + x^3-4)'= (x^3+3x^2+2x+1)'=3x^2+6x+2
e
p'(x)+q'(x)=(6x+2)+(3x^2)=3x^2+6x+2,
mostrando na prática que D(p+q)=D(p)+D(q).

Resposta

A aplicação D é linear.

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