Uma reta ® possui infinitas equações paramétricas distintas.
Escolha uma opção:
◯ Verdadeiro
◯ Falso

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
Uma reta ® possui infinitas equações paramétricas distintas.
Dados do enunciado:
  • Não há dados numéricos; é uma afirmação geral sobre retas e parametrizações.
  • A pergunta exige escolher entre “Verdadeiro” ou “Falso”.

Passo 2

Primeiro, vamos fixar o que é uma equação paramétrica de reta (explicação didática).
  • Uma reta pode ser dada por uma posição inicial (um ponto) e uma direção. Em forma vetorial paramétrica escrevemos
\mathbf{r}(t)=\mathbf{p}+t\,\mathbf{v},
onde:
  • \mathbf{p} é um vetor posição de um ponto qualquer da reta (ou seja, as coordenadas de um ponto que pertence à reta);
  • \mathbf{v} é um vetor diretor da reta (um vetor não nulo paralelo à reta);
  • t é o parâmetro real que varia em \mathbb{R}.
  • Em coordenadas cartesianas, por exemplo em \mathbb{R}^3, se \mathbf{p}=(p_x,p_y,p_z) e \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z), as equações paramétricas são
x=p_x+v_x t,\qquad y=p_y+v_y t,\qquad z=p_z+v_z t.

Passo 3

Exemplo concreto (para ficar mais visual e “pegável”):
  • Tome \mathbf{p}=(1,2,3) e \mathbf{v}=(2,-1,0). Uma parametrização é
\mathbf{r}(t)=(1,2,3)+t(2,-1,0).
Isto dá as equações
x=1+2t,\qquad y=2-t,\qquad z=3.
Isso descreve todos os pontos da mesma reta quando t varia em \mathbb{R}.

Passo 4

Agora mostro como gerar outras equações paramétricas que representam exatamente a mesma reta (método 1: translação do parâmetro).
  • Faça a mudança de parâmetro s=t+b, com b\in\mathbb{R} fixo. Substituindo:
\mathbf{r}(s)=\mathbf{p}+(s-b)\mathbf{v}=(\mathbf{p}-b\mathbf{v})+s\mathbf{v}.
  • Conclusão: a nova forma é \mathbf{r}(s)=\mathbf{p}' + s\mathbf{v} com \mathbf{p}'=\mathbf{p}-b\mathbf{v}. Ou seja, mudando b obtém-se um ponto inicial diferente da reta, mas a mesma reta geométrica. Para cada valor de b obtemos uma equação paramétrica distinta (os coeficientes/constantes mudam).

Passo 5

Outra maneira (método 2: escala do parâmetro) — também gera infinitas parametrizações:
  • Faça s=a t com a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}. Então
\mathbf{r}(s)=\mathbf{p}+\frac{s}{a}\mathbf{v}=\mathbf{p}+s\left(\frac{\mathbf{v}}{a}\right).
  • Aqui o vetor diretor muda para \mathbf{v}'=\mathbf{v}/a. Para cada a\neq 0 diferente obtém-se um vetor diretor distinto (escala diferente), logo equações paramétricas distintas que ainda descrevem a mesma reta (às vezes com orientação invertida quando a<0).

Passo 6

Combinação e conclusão rigorosa:
  • Compondo s=a t + b com a\neq 0 e b arbitrários, obtemos a família
\mathbf{r}(s)=(\mathbf{p}-b\mathbf{v})+s\left(\frac{\mathbf{v}}{a}\right).
  • Há infinitas escolhas de pares (a,b) (por exemplo, escolha qualquer b\in\mathbb{R} e a\in\{1,2,3,\dots\}), e cada par com a\neq 0 produz uma equação paramétrica com coeficientes diferentes — logo uma equação paramétrica distinta.
  • Observação: algumas escolhas especiais podem dar a mesma expressão (por exemplo a=1,b=0 retorna a parametrização original), mas existem claramente infinitas escolhas que dão expressões diferentes. Portanto não apenas é possível ter mais de uma, como há infinitas equações paramétricas distintas que descrevem a mesma reta.

Passo 7

Intuição final e motivação (um empurrãozinho amigo): pense que o parâmetro t é livre — pode ser escalado e deslocado sem mudar os pontos da reta, então isso abre um universo infinito de formas de escrever a mesma reta. É exatamente por isso que a parametrização não é única.

Resposta

Verdadeiro

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