Uma reta ® possui infinitas equações paramétricas distintas.
Escolha uma opção:
◯ Verdadeiro
◯ Falso
◯ Verdadeiro
◯ Falso
Passo 1
O enunciado pergunta se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
Uma reta ® possui infinitas equações paramétricas distintas.
Dados do enunciado:
- Não há dados numéricos; é uma afirmação geral sobre retas e parametrizações.
- A pergunta exige escolher entre “Verdadeiro” ou “Falso”.
Passo 2
Primeiro, vamos fixar o que é uma equação paramétrica de reta (explicação didática).
- Uma reta pode ser dada por uma posição inicial (um ponto) e uma direção. Em forma vetorial paramétrica escrevemos
onde:
-
é um vetor posição de um ponto qualquer da reta (ou seja, as coordenadas de um ponto que pertence à reta); -
é um vetor diretor da reta (um vetor não nulo paralelo à reta); -
é o parâmetro real que varia em . - Em coordenadas cartesianas, por exemplo em
, se e , as equações paramétricas são
Passo 3
Exemplo concreto (para ficar mais visual e “pegável”):
- Tome
e . Uma parametrização é
Isto dá as equações
Isso descreve todos os pontos da mesma reta quando
varia em
.
Passo 4
Agora mostro como gerar outras equações paramétricas que representam exatamente a mesma reta (método 1: translação do parâmetro).
- Faça a mudança de parâmetro
, com fixo. Substituindo:
- Conclusão: a nova forma é
com . Ou seja, mudando obtém-se um ponto inicial diferente da reta, mas a mesma reta geométrica. Para cada valor de obtemos uma equação paramétrica distinta (os coeficientes/constantes mudam).
Passo 5
Outra maneira (método 2: escala do parâmetro) — também gera infinitas parametrizações:
- Faça
com . Então
- Aqui o vetor diretor muda para
. Para cada diferente obtém-se um vetor diretor distinto (escala diferente), logo equações paramétricas distintas que ainda descrevem a mesma reta (às vezes com orientação invertida quando ).
Passo 6
Combinação e conclusão rigorosa:
- Compondo
com e arbitrários, obtemos a família
- Há infinitas escolhas de pares
(por exemplo, escolha qualquer e ), e cada par com produz uma equação paramétrica com coeficientes diferentes — logo uma equação paramétrica distinta. - Observação: algumas escolhas especiais podem dar a mesma expressão (por exemplo
retorna a parametrização original), mas existem claramente infinitas escolhas que dão expressões diferentes. Portanto não apenas é possível ter mais de uma, como há infinitas equações paramétricas distintas que descrevem a mesma reta.
Passo 7
Intuição final e motivação (um empurrãozinho amigo): pense que o parâmetro
é livre — pode ser escalado e deslocado sem mudar os pontos da reta, então isso abre um universo infinito de formas de escrever a mesma reta. É exatamente por isso que a parametrização não é única.
Resposta
Verdadeiro