Dada a matriz A=\left[\begin{array}{cccc}2 & 1 & -1 & -2 \\\\ 3 & 2 & -1 & -1 \\\\ 2 & 5 & -1 & 0\end{array}\right], qual será a matriz resultante B após serem efetuadas as seguintes operações elementares sobre as linhas, em sequência:
L_{1} \rightarrow-5 L_{1}, L_{1} \leftrightarrow L_{3}, L_{2} \rightarrow L_{2}-4 L_{1}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & -2\\\\ 3 & 2 & -1 & -1\\\\ 2 & 5 & -1 & 0 \end{pmatrix}
e pede para aplicar em sequência as operações elementares sobre linhas:
  1. L_{1}\to -5L_{1}
  2. L_{1}\leftrightarrow L_{3}
  3. L_{2}\to L_{2}-4L_{1}
    O conteúdo aqui é álgebra linear, em particular o efeito de operações elementares sobre linhas de uma matriz.

Passo 2

Para aplicar L_{1}\to -5L_{1} em A, multiplicamos a primeira linha por -5. Isso gera a matriz
M_{1} = \begin{pmatrix} -10 & -5 & 5 & 10\\\\ 3 & 2 & -1 & -1\\\\ 2 & 5 & -1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Em seguida, para aplicar L_{1}\leftrightarrow L_{3} em M_{1}, trocamos as linhas 1 e 3, obtendo
M_{2} = \begin{pmatrix} 2 & 5 & -1 & 0\\\\ 3 & 2 & -1 & -1\\\\ -10 & -5 & 5 & 10 \end{pmatrix}.

Passo 4

Por fim, para aplicar L_{2}\to L_{2}-4L_{1} em M_{2}, subtraímos quatro vezes a linha 1 da linha 2. Calculando
\bigl(3,\,2,\,-1,\,-1\bigr) - 4\,(2,\,5,\,-1,\,0) = (-5,\,-18,\,3,\,-1),
chegamos à matriz final
B = \begin{pmatrix} 2 & 5 & -1 & 0\\\\ -5 & -18 & 3 & -1\\\\ -10 & -5 & 5 & 10 \end{pmatrix}.

Resposta

B = \begin{pmatrix} 2 & 5 & -1 & 0\\\\ -5 & -18 & 3 & -1\\\\ -10 & -5 & 5 & 10 \end{pmatrix}.

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