Dada a matriz A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] calcule:
a) \mathrm{A}+\mathrm{A}
b) A \cdot A
c) A^{-1}
d) A \cdot A \cdot A

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} a & b \\[6pt] c & d \end{pmatrix}
e pede:
a) A + A
b) A \cdot A
c) A^{-1}
d) A \cdot A \cdot A.
O conteúdo aqui envolve soma de matrizes, multiplicação de matrizes e inversão de matrizes 2\times2.]

Passo 2

Para a soma de matrizes usamos a regra entrada a entrada. Logo
A + A = \begin{pmatrix} a & b \\[3pt] c & d \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a & b \\[3pt] c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+a & b+b \\[3pt] c+c & d+d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a & 2b \\[3pt] 2c & 2d \end{pmatrix}.]

Passo 3

Para calcular A\cdot A usamos a definição
(A^2)_{ij}=\sum_{k=1}^2 A_{ik}\,A_{kj}.
Assim:
A^2 = A\cdot A = \begin{pmatrix} a & b \\[3pt] c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\[3pt] c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\cdot a + b\cdot c & a\cdot b + b\cdot d \\[4pt] c\cdot a + d\cdot c & c\cdot b + d\cdot d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\[4pt] ca + dc & cb + d^2 \end{pmatrix}.]

Passo 4

A inversa de uma matriz 2\times2 é
A^{-1} = \frac1{\det(A)} \,\mathrm{adj}(A),
onde \det(A)=ad - bc e
\mathrm{adj}(A) = \begin{pmatrix} d & -b \\[3pt] -\,c & a \end{pmatrix}.
Logo, supondo ad - bc \neq 0,
A^{-1} = \frac1{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\[3pt] -\,c & a \end{pmatrix}.]

Passo 5

Para A^3 podemos usar A^3 = A^2 \cdot A. Já temos
A^2 = \begin{pmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\[4pt] ca + dc & cb + d^2 \end{pmatrix},
então
A^3 = \begin{pmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\[4pt] ca + dc & cb + d^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\[3pt] c & d \end{pmatrix}.
Calculando entrada a entrada:
A^3 = \begin{pmatrix} (a^2+bc)\,a + (ab+bd)\,c & (a^2+bc)\,b + (ab+bd)\,d \\[6pt] (ca+dc)\,a + (cb+d^2)\,c & (ca+dc)\,b + (cb+d^2)\,d \end{pmatrix}.
Podemos reescrever cada termo de forma expandida:
A^3 = \begin{pmatrix} a^3 + 2\,abc + bcd & a^2b + b^2c + abd + bd^2 \\[4pt] ca^2 + dca + c^2b + cd^2 & abc + 2\,bcd + d^3 \end{pmatrix}.]

Resposta

a) \displaystyle A + A = \begin{pmatrix}2a & 2b \\[3pt]2c & 2d\end{pmatrix}.
b) \displaystyle A\cdot A = \begin{pmatrix}a^2+bc & ab+bd \\[4pt]ca+dc & cb+d^2\end{pmatrix}.
c) \displaystyle A^{-1} = \frac1{ad - bc}\begin{pmatrix}d & -b \\[3pt]-c & a\end{pmatrix}, desde que ad - bc \neq 0.
d) \displaystyle A^3 = \begin{pmatrix}a^3 + 2\,abc + bcd & a^2b + b^2c + abd + bd^2 \\[4pt]ca^2 + dca + c^2b + cd^2 & abc + 2\,bcd + d^3\end{pmatrix}.]

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