Dadas as matrizes A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & 1 \\\\ 4 & -1 & -1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ccc}5 & -1 & 0 \\\\ 0 & 4 & 1\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & -1 \\\\ 4 & 3 & 2\end{array}\right], calcule D=\frac{1}{2}\left(A A^{T}\right)-B C^{T}.

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}2 & 3 & 1 \\\\ 4 & -1 & -1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}5 & -1 & 0 \\\\ 0 & 4 & 1\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}0 & 2 & -1 \\\\ 4 & 3 & 2\end{pmatrix}
e pede D=\tfrac12\,(A A^{T}) - B\,C^{T}. O conteúdo é multiplicação de matrizes e transposição, com resultado sendo uma matriz 2\times2.

Passo 2

Vamos calcular A A^{T}. Para isso, usamos que o elemento (i,j) de A A^{T} é o produto escalar da linha i de A com a linha j de A. As linhas de A são \ell_{1}=(2,3,1) e \ell_{2}=(4,-1,-1).
Logo,
(A A^{T})_{11} = 2\cdot2 +3\cdot3 +1\cdot1 = 14,
(A A^{T})_{12} = 2\cdot4 +3\cdot(-1)+1\cdot(-1) = 4,
(A A^{T})_{21} = 4\cdot2 +(-1)\cdot3 +(-1)\cdot1 = 4,
(A A^{T})_{22} = 4\cdot4 +(-1)\cdot(-1)+(-1)\cdot(-1) = 18.
Portanto,
A A^{T}=\begin{pmatrix}14 & 4 \\\\ 4 & 18\end{pmatrix}.

Passo 3

Multiplicamos por \tfrac12:
\tfrac12\,(A A^{T}) = \begin{pmatrix}7 & 2 \\\\ 2 & 9\end{pmatrix}.

Passo 4

Agora calculamos B\,C^{T}. As linhas de B são \beta_{1}=(5,-1,0) e \beta_{2}=(0,4,1), e as linhas de C (que viram colunas de C^{T}) são \gamma_{1}=(0,2,-1) e \gamma_{2}=(4,3,2). Então
(B C^{T})_{11} = 5\cdot0 +(-1)\cdot2 +0\cdot(-1) = -2,
(B C^{T})_{12} = 5\cdot4 +(-1)\cdot3 +0\cdot2 = 17,
(B C^{T})_{21} = 0\cdot0 +4\cdot2 +1\cdot(-1) = 7,
(B C^{T})_{22} = 0\cdot4 +4\cdot3 +1\cdot2 = 14.
Logo,
B C^{T} = \begin{pmatrix}-2 & 17 \\\\ 7 & 14\end{pmatrix}.

Passo 5

Finalmente fazemos
D = \tfrac12\,(A A^{T}) - B\,C^{T} = \begin{pmatrix}7 & 2 \\\\ 2 & 9\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-2 & 17 \\\\ 7 & 14\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 -(-2) & 2-17 \\[6pt] 2-7 & 9-14\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9 & -15 \\\\ -5 & -5\end{pmatrix}.]

Resposta

D = \begin{pmatrix}9 & -15 \\\\ -5 & -5\end{pmatrix}.

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