Resolver os problemas dados a seguir de forma clara, justificando todas as etapas relevantes da resolução, com desenvolvimento lógico e organizado e fazendo uso de argumentação pautada na teoria.
Sejam boldsymbol{A} e boldsymbol{B} matrizes quadradas de ordem boldsymbol{n}. Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas.
\operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(B A)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, dadas duas matrizes quadradas A e B de mesma ordem n, vale sempre a igualdade \det(AB)=\det(BA). O conteúdo usado será a propriedade multiplicativa do determinante e a comutatividade da multiplicação de escalares.

Passo 2

Pelo teorema do determinante de produto, para quaisquer matrizes quadradas A e B de ordem n temos
\det(AB)=\det(A)\,\det(B).

Passo 3

Como \det(A) e \det(B) são números (escalares), a multiplicação entre eles é comutativa. Logo
\det(A)\,\det(B)=\det(B)\,\det(A).

Passo 4

Aplicando novamente a propriedade multiplicativa ao produto BA, obtemos
\det(BA)=\det(B)\,\det(A).
Comparando com os resultados dos passos anteriores, concluímos
\det(AB)=\det(A)\,\det(B)=\det(B)\,\det(A)=\det(BA).

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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