Suponha que A e B são matrizes quadradas de ordem 3 tais que \operatorname{det} A=6 e \operatorname{det} B=2.
Calcule o determinante da matriz P, sendo P=-\sqrt{2}\left(A^{t}\right)^{-1} B^{t} A^{2} B^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede o determinante de
P = -\sqrt{2}\,(A^{t})^{-1}\,B^{t}\,A^{2}\,B^{-1}
sendo A e B matrizes 3\times3 com \det A=6 e \det B=2. Vamos usar que
  1. \det(XY)=\det X\cdot\det Y.
  2. \det(X^{-1})=(\det X)^{-1}.
  3. \det(X^{t})=\det X.
  4. \det(cI_n)=c^n para escalar c em n dimensões.

Passo 2

Determinamos o fator escalar -\sqrt{2} em ordem 3:
\det\bigl(-\sqrt{2}\,I_3\bigr)=(-\sqrt{2})^3=-2\sqrt{2}.

Passo 3

Agora cada parte: \det\bigl((A^t)^{-1}\bigr)=1/\det(A^t)=1/\det A=1/6, \det(B^t)=\det B=2, \det(A^2)=(\det A)^2=6^2=36, \det(B^{-1})=1/\det B=1/2.

Passo 4

Multiplicando tudo:
\det P = (-2\sqrt{2})\;\times\;\frac{1}{6}\;\times\;2\;\times\;36\;\times\;\frac{1}{2}
Primeiro cance­lamos 2\cdot\frac12=1 e 36/6=6, ficando
\det P = (-2\sqrt{2})\times 6 = -12\sqrt{2}.

Resposta

-12\sqrt{2}

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