Dada a matriz A=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 5 & -1 & 3 \\\\ -1 & 2 & -2 & 4 \\\\ 6 & 7 & 3 & -1 \\\\ 5 & 3 & 0 & 4\end{array}\right], determine:
(a) \operatorname{det} A utilizando as operações elementares sobre as linhas de A;
(b) \operatorname{det} A^{T};
(c) \operatorname{det}\left(A^{2}\right);
(d) A^{-1};
(e) \operatorname{det}(-A).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 5 & -1 & 3\\\\ -1 & 2 & -2 & 4\\\\ 6 & 7 & 3 & -1\\\\ 5 & 3 & 0 & 4 \end{pmatrix}
e pede:
(a) \det A por operações elementares de linha;
(b) \det A^T;
(c) \det(A^2);
(d) A^{-1};
(e) \det(-A).
O conteúdo envolve cálculo de determinantes por eliminação, propriedades de determinantes e inversa de matriz via Gauss–Jordan.

Passo 2

Calculando \det A por eliminação:
  1. Usamos operações R_i\to R_i + k\,R_j que não alteram o determinante.
  2. Eliminamos abaixo de a_{11}=1:
R_2\!\gets R_2+R_1,\quad R_3\!\gets R_3-6R_1,\quad R_4\!\gets R_4-5R_1.
  1. Depois eliminamos abaixo de a_{22}=7 e de a_{33}=-\tfrac{6}{7} até obter forma triangular.
  2. O produto dos pivôs na diagonal dá
\det A = 1 \times 7 \times\Bigl(-\tfrac{6}{7}\Bigr)\times\Bigl(-\tfrac{29}{3}\Bigr) =58.

Passo 3

Usando propriedades de determinantes:
  • \det A^T=\det A.
  • \det(A^2)=\bigl(\det A\bigr)^2.
  • \det(-A)=(-1)^{4}\det A.

Passo 4

Para A^{-1}, augmentamos A com I_4 e aplicamos Gauss–Jordan até obter [I_4\mid A^{-1}]. O cálculo leva a
A^{-1}=\frac{1}{58} \begin{pmatrix} 50 & -64 & -26 & 20\\\\ 14 & -4 & 2 & -6\\\\ -157&165 & 77 & -28\\\\ -73 & 83 & 31 & -6 \end{pmatrix}.

Resposta

(a) \det A = 58.
(b) \det A^T = 58.
(c) \det(A^2)=58^2=3364.
(d)
A^{-1}=\frac{1}{58} \begin{pmatrix} 50 & -64 & -26 & 20\\\\ 14 & -4 & 2 & -6\\\\ -157&165 &77 &-28\\\\ -73 &83 &31 &-6 \end{pmatrix}.
(e) \det(-A)=(-1)^4\cdot58=58.

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