Considere o operador A cuja matriz é:
A=(lll 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 )
Use o cálculo funcional para obter:
sen(3 A)

Passo 1

O enunciado pede para calcular sen(3A) onde
A = 1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1
O conteúdo é cálculo funcional de matriz, e vamos usar que A é da forma
A = I + N,
onde I é a matriz identidade 3times3 e N = A - I é nilpotente de ordem 3 (isto é, N^3 = 0).

Passo 2

Escrevemos
sen(3A) = senl(3(I+N)r) = sen(3I + 3N)
Como I e N comutam, aplicamos a expansão de sen(X+Y) para operadores comutantes, ou diretamente a série de Taylor
sen(3I+3N) = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)!(3I+3N)^2k+1
Mas, como N^3=0, só surgem termos até N^2.

Passo 3

Uma forma rápida é notar que a função escalar
f(t) = senl(3(1+t)r)
tem expansão de Taylor em torno de t=0:
f(t) = sen(3) + 3tcos(3) - (3t)^22sen(3) = sen(3) + 3,cos(3),t - 92,sen(3),t^2
Substituindo tmapsto N e lembrando que N^3=0, obtemos
sen(3A) = sen(3I+3N) = sen(3),I + 3cos(3),N - 92sen(3),N^2

Passo 4

Calculemos N e N^2:
N = A - I = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 , N^2 = 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 ^2 = 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Passo 5

Substituindo na fórmula de sin(3A):
sin(3A) = sin(3),I + 3cos(3),N - 92sin(3),N^2
Escrevendo em forma matricial:
sin(3A) = sin(3) & 0 & 0 0 & sin(3) & 0 0 & 0 & sin(3) + 3cos(3) 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 - 92sin(3) 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Somando elemento a elemento, concluímos:
sin(3A) = sin(3) & 3cos(3) & 6cos(3) - tfrac272sin(3)[6pt] 0 & sin(3) & 9cos(3)[3pt] 0 & 0 & sin(3) ]

Resposta

sen(3A) = sen(3) & 3cos(3) & 6cos(3) - tfrac272sen(3) 0 & sen(3) & 9cos(3) 0 & 0 & sen(3)

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