Considere o operador A cuja matriz é:
Use o cálculo funcional para obter:
sen(3 A)
Passo 1
O enunciado pede para calcular
sen(3A) onde
O conteúdo é cálculo funcional de matriz, e vamos usar que
A é da forma
onde
I é a matriz identidade
3times3 e
N = A - I é nilpotente de ordem
3 (isto é,
N^3 = 0 ).
Passo 2
Escrevemos
Como
I e
N comutam, aplicamos a expansão de
sen(X+Y) para operadores comutantes, ou diretamente a série de Taylor
Mas, como
N^3=0 , só surgem termos até
N^2 .
Passo 3
Uma forma rápida é notar que a função escalar
tem expansão de Taylor em torno de
t=0 :
Substituindo
tmapsto N e lembrando que
N^3=0 , obtemos
Passo 4
Calculemos
N e
N^2 :
Passo 5
Substituindo na fórmula de
sin(3A) :
Escrevendo em forma matricial:
Somando elemento a elemento, concluímos: