Dada a matriz P=[llx & 5 y & 1], com x e y reais, pedem-se: b) a matriz P^17, nas condições do item (a).

Matriz Inversa (clássica)

Uma Matriz Quadrada A de ordem n, diz-se invertível (inversível), ou não singular, se e somente se, existir uma matriz que indicamos por A^- 1, tal que:
A cdot A^-1=A^-1 cdot A=I

Equação Matricial do Tipo X.A=B

Sendo X, A e B matrizes quadradas do mesmo tipo, prova-se que, se A admite inversa, então:
X cdot A=B Leftrightarrow X=B cdot A^-1
Prova: X cdot A=B Leftrightarrow(X cdot A) cdot A^-1=B cdot A^-1 Leftrightarrow X cdot I=B cdot A^-1 Leftrightarrow X=B cdot A^-1.

Propriedades da Matriz Inversa Clássica

Sendo A e B matrizes quadradas do mesmo tipo e inversíveis, temos que:
a) (A^-1)^-1=A;
b) (A^-1)^prime=(A^prime)^-1;
c) (A B)^-1=B^-1 A^-1;
d) A inversa clássica de uma matriz, se existir, é única.
22. Se A e B são matrizes quadradas inversíveis e de mesma ordem n, prove que:
a) as propriedades (a), (b) e ©;
b) (A B A^-1)^2=A B^2 A^-1;
c) (A B A^-1)^-1=A B^-1 A^-1.
23. Supondo que A e B são inversíveis e I a matriz identidade, o valor de X na equação matricial A X+B=A é dada por:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz quadrada $ \mathrm{P} = P = x & 5 y & 1 $, onde $ x $ e $ y $ são números reais. A tarefa é encontrar a matriz $ \mathrm{P}^{17} $, ou seja, multiplicar a matriz $ \mathrm{P} $ por ela mesma 17 vezes. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular potências de matrizes, e para facilitar, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores, que ajudam bastante nesse tipo de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz $ \mathrm{P} $. Os autovalores são valores $ \lambda $ que satisfazem a equação característica:
P
Aqui, $ \mathrm{I} $ é a matriz identidade. Vamos calcular o determinante:
lambda
Expandindo:
det(P - lambda I) = 0
Essa é uma equação quadrática em $ \lambda $. Vamos resolver ela usando a fórmula de Bhaskara:
I

Passo 3

Agora que temos os autovalores $ \lambda_1 $ e $ \lambda_2 $, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada autovalor $ \lambda $, resolvemos:
lambda1
Isso nos dará os autovetores $ \mathbf{v}_1 $ e $ \mathbf{v}_2 $. Supondo que a matriz $ \mathrm{P} $ seja diagonalizável, podemos escrever:
lambda2
Onde $ \mathrm{D} $ é a matriz diagonal formada pelos autovalores, e $ \mathrm{Q} $ é a matriz cujas colunas são os autovetores.

Passo 4

Com a matriz diagonal $ \mathrm{D} $, calcular $ \mathrm{D}^{17} $ é simples: basta elevar cada elemento da diagonal à 17ª potência:
D

Passo 5

Finalmente, para encontrar $ \mathrm{P}^{17} $, usamos a relação:
P^17
Isso significa que multiplicamos a matriz $ \mathrm{Q} $ pela matriz diagonal $ \mathrm{D}^{17} $ e depois pela inversa de $ \mathrm{Q} $.

Resposta

Portanto, a matriz $ \mathrm{P}^{17} $ é dada por:
P^17
Onde $ \lambda_1 $ e $ \lambda_2 $ são os autovalores de $ \mathrm{P} $, e $ \mathrm{Q} $ é a matriz formada pelos respectivos autovetores.

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