Dada a matriz
, com x e y reais, pedem-se: b) a matriz
, nas condições do item (a).
Matriz Inversa (clássica)
Uma Matriz Quadrada A de ordem n, diz-se invertível (inversível), ou não singular, se e somente se, existir uma matriz que indicamos por
, tal que:
Equação Matricial do Tipo X.A=B
Sendo X, A e B matrizes quadradas do mesmo tipo, prova-se que, se
admite inversa, então:
Prova:
.
Propriedades da Matriz Inversa Clássica
Sendo A e B matrizes quadradas do mesmo tipo e inversíveis, temos que:
a)
;
b)
;
c)
;
d) A inversa clássica de uma matriz, se existir, é única.
22. Se A e B são matrizes quadradas inversíveis e de mesma ordem n, prove que:
a) as propriedades (a), (b) e ©;
b)
;
c)
.
23. Supondo que
e
são inversíveis e
a matriz identidade, o valor de
na equação matricial
é dada por:
a)
b)
c)
d) A inversa clássica de uma matriz, se existir, é única.
22. Se A e B são matrizes quadradas inversíveis e de mesma ordem n, prove que:
a) as propriedades (a), (b) e ©;
b)
c)
23. Supondo que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz quadrada $ \mathrm{P} =
$, onde $ x $ e $ y $ são números reais. A tarefa é encontrar a matriz $ \mathrm{P}^{17} $, ou seja, multiplicar a matriz $ \mathrm{P} $ por ela mesma 17 vezes. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular potências de matrizes, e para facilitar, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores, que ajudam bastante nesse tipo de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz $ \mathrm{P} $. Os autovalores são valores $ \lambda $ que satisfazem a equação característica:
Aqui, $ \mathrm{I} $ é a matriz identidade. Vamos calcular o determinante:
Expandindo:
Essa é uma equação quadrática em $ \lambda $. Vamos resolver ela usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 3
Agora que temos os autovalores $ \lambda_1 $ e $ \lambda_2 $, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada autovalor $ \lambda $, resolvemos:
Isso nos dará os autovetores $ \mathbf{v}_1 $ e $ \mathbf{v}_2 $. Supondo que a matriz $ \mathrm{P} $ seja diagonalizável, podemos escrever:
Onde $ \mathrm{D} $ é a matriz diagonal formada pelos autovalores, e $ \mathrm{Q} $ é a matriz cujas colunas são os autovetores.
Passo 4
Com a matriz diagonal $ \mathrm{D} $, calcular $ \mathrm{D}^{17} $ é simples: basta elevar cada elemento da diagonal à 17ª potência:
Passo 5
Finalmente, para encontrar $ \mathrm{P}^{17} $, usamos a relação:
Isso significa que multiplicamos a matriz $ \mathrm{Q} $ pela matriz diagonal $ \mathrm{D}^{17} $ e depois pela inversa de $ \mathrm{Q} $.
Resposta
Portanto, a matriz $ \mathrm{P}^{17} $ é dada por:
Onde $ \lambda_1 $ e $ \lambda_2 $ são os autovalores de $ \mathrm{P} $, e $ \mathrm{Q} $ é a matriz formada pelos respectivos autovetores.