Dadas as matrizes A=\left(\begin{array}{cc}2 & 3 \\\\ 1 & -1\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ll}2 & 4 \\\\ 1 & 2\end{array}\right), determine: X tal que A+X=B. Esta matriz X é única?́
Passo 1
O enunciado nos dá duas matrizes quadradas 2\times2:
Relembrando regras básicas (passo a passo e sem pressa):
Duas matrizes têm que ter o mesmo tamanho para serem somadas ou comparadas. Aqui todas são 2\times2, então está tudo certo.
A igualdade entre matrizes é definida entrada a entrada: duas matrizes M e N são iguais quando cada elemento correspondente é igual, isto é, m_{ij}=n_{ij} para todo i,j.
A soma de matrizes também é feita entrada a entrada: se A=(a_{ij}) e X=(x_{ij}), então
A+X=(a_{ij}+x_{ij}).
Aplicando isso à equação A+X=B, obtemos, para cada posição (i,j),
a_{ij}+x_{ij}=b_{ij}.
Passo 3
Isolando x_{ij} em cada igualdade da etapa anterior, temos
x_{ij}=b_{ij}-a_{ij}.
Isso diz simplesmente que a solução X é dada pela subtração entrada a entrada de A em B. Em notação matricial:
X = B - A,
onde a subtração B-A também é feita componente a componente.
Passo 4
Agora calculamos cada entrada de X=B-A explicitamente:
ou seja, a matriz encontrada realmente satisfaz A+X=B.]
Passo 6
Sobre unicidade: provamos que não pode haver duas soluções diferentes. Suponha que X_1 e X_2 sejam soluções, isto é,
A+X_1=B\quad\text{e}\quad A+X_2=B.
Subtraindo a primeira igualdade da segunda (entrada a entrada) obtemos
(A+X_1)-(A+X_2)=B-B.
Como subtração é associativa e A-A é a matriz nula, isso dá
X_1-X_2=0,
onde 0 é a matriz nula. Logo X_1=X_2. Portanto a solução é única. (Intuição rápida: dá para "subtrair A" dos dois lados e essa operação determina um único X.)