Dadas as matrizes A=\left(\begin{array}{cc}2 & 3 \\\\ 1 & -1\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ll}2 & 4 \\\\ 1 & 2\end{array}\right), determine:
X tal que A+X=B. Esta matriz X é única?́

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes quadradas 2\times2:
A=\begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}.
Pede-se:
  • Determinar a matriz X tal que A+X=B.
  • Dizer se essa matriz X é única.]

Passo 2

Relembrando regras básicas (passo a passo e sem pressa):
  • Duas matrizes têm que ter o mesmo tamanho para serem somadas ou comparadas. Aqui todas são 2\times2, então está tudo certo.
  • A igualdade entre matrizes é definida entrada a entrada: duas matrizes M e N são iguais quando cada elemento correspondente é igual, isto é, m_{ij}=n_{ij} para todo i,j.
  • A soma de matrizes também é feita entrada a entrada: se A=(a_{ij}) e X=(x_{ij}), então
A+X=(a_{ij}+x_{ij}).
Aplicando isso à equação A+X=B, obtemos, para cada posição (i,j),
a_{ij}+x_{ij}=b_{ij}.

Passo 3

Isolando x_{ij} em cada igualdade da etapa anterior, temos
x_{ij}=b_{ij}-a_{ij}.
Isso diz simplesmente que a solução X é dada pela subtração entrada a entrada de A em B. Em notação matricial:
X = B - A,
onde a subtração B-A também é feita componente a componente.

Passo 4

Agora calculamos cada entrada de X=B-A explicitamente:
  • Entrada (1,1): x_{11}=2-2=0.
  • Entrada (1,2): x_{12}=4-3=1.
  • Entrada (2,1): x_{21}=1-1=0.
  • Entrada (2,2): x_{22}=2-(-1)=2+1=3.
Portanto
X=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificação rápida (para ficar tranquilo): somando A com X entrada a entrada:
A+X=\begin{pmatrix}2+0 & 3+1 \\[4pt] 1+0 & -1+3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}=B,
ou seja, a matriz encontrada realmente satisfaz A+X=B.]

Passo 6

Sobre unicidade: provamos que não pode haver duas soluções diferentes. Suponha que X_1 e X_2 sejam soluções, isto é,
A+X_1=B\quad\text{e}\quad A+X_2=B.
Subtraindo a primeira igualdade da segunda (entrada a entrada) obtemos
(A+X_1)-(A+X_2)=B-B.
Como subtração é associativa e A-A é a matriz nula, isso dá
X_1-X_2=0,
onde 0 é a matriz nula. Logo X_1=X_2. Portanto a solução é única. (Intuição rápida: dá para "subtrair A" dos dois lados e essa operação determina um único X.)

Resposta

X=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}
Sim, é única.]

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