Dadas as matrizes A=\left(\begin{array}{cc}2 & 3 \\\\ 1 & -1\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ll}2 & 4 \\\\ 1 & 2\end{array}\right), determine:
X tal que B X=A. Essa matriz X é única? Por quê?

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix},
e pede duas coisas:
  • Determinar a matriz X tal que B X = A.
  • Dizer se essa matriz X é única e justificar.]

Passo 2

Idéia geral (apresentando conceitos úteis):
  • Se a matriz B for invertível (ou seja, \det(B)\neq0), então a solução é única e dada por
X = B^{-1}A.
  • Se \det(B)=0 (ou seja, B é singular), não podemos usar B^{-1}. Nesse caso é preciso resolver a equação coluna a coluna: se X=[\mathbf{x}_1\\ \mathbf{x}_2] e A=[\mathbf{a}_1\\ \mathbf{a}_2], então
B\mathbf{x}_1=\mathbf{a}_1,\qquad B\mathbf{x}_2=\mathbf{a}_2.
Cada sistema pode ser impossível, ter uma única solução ou infinitas soluções — dependendo da consistência e da nulidade de B.

Passo 3

Calcular \det(B) para saber se B é invertível. Para matrizes 2\times2,
\det\!\begin{pmatrix}p & q\\\ r & s\end{pmatrix}=ps-qr.
Aplicando a B:
\det(B)=2\cdot 2 - 4\cdot 1 = 4-4 = 0.
Portanto B é singular ( \det(B)=0) e não tem inversa. Logo não podemos obter X como B^{-1}A.

Passo 4

Resolver coluna a coluna. Escrevemos as colunas de A:
\mathbf{a}_1=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{a}_2=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Se X=[\mathbf{x}_1\\ \mathbf{x}_2] com \mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2\in\mathbb{R}^2, então precisamos resolver
B\mathbf{x}_1=\mathbf{a}_1,\qquad B\mathbf{x}_2=\mathbf{a}_2.]

Passo 5

Resolver B\mathbf{x}_1=\mathbf{a}_1\). Escreva \(\mathbf{x}_1=\begin{pmatrix}u\\[4pt]v\end{pmatrix}\). O sistema é \[\begin{cases} 2u+4v=2,\\[4pt] u+2v=1. \end{cases}
Observe que a segunda equação multiplicada por 2\] é exatamente a primeira, ou seja, as equações são dependentes (esperado porque \(\det(B)=0). Assim o sistema é consistente e tem infinitas soluções. Da segunda equação:
u+2v=1 \quad\Rightarrow\quad u=1-2v.
Portanto a família de soluções para \mathbf{x}_1 é
\mathbf{x}_1=\begin{pmatrix}1-2t\\[4pt] t\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
Em particular há muitas escolhas possíveis para \mathbf{x}_1.]

Passo 6

Resolver B\mathbf{x}_2=\mathbf{a}_2\). Escreva \(\mathbf{x}_2=\begin{pmatrix}p\\[4pt]q\end{pmatrix}\). O sistema é \[\begin{cases} 2p+4q=3,\\[4pt] p+2q=-1. \end{cases}
Multiplicando a segunda equação por 2\] obtém-se \[2p+4q = -2,\] que contradiz a primeira equação \(2p+4q=3. Logo o sistema é inconsistente e não tem solução para \mathbf{x}_2.]

Passo 7

Conclusão lógica: para existir uma matriz [X) é necessário que existam \mathbf{x}_1 e \mathbf{x}_2 solucionando os dois sistemas simultaneamente. Encontramos que B\mathbf{x}_1=\mathbf{a}_1 tem infinitas soluções, mas B\mathbf{x}_2=\mathbf{a}_2 não tem solução. Portanto não existe nenhuma matriz X tal que B X = A.
Comentário sobre unicidade (explicando a teoria): como \det(B)=0, a transformação linear associada a B tem núcleo não-trivial. De fato, o vetor não-nulo que satisfaz B\mathbf{k}=0 pode ser obtido resolvendo
\begin{cases}2r+4s=0,\\[4pt] r+2s=0,\end{cases}
por exemplo \mathbf{k}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}\]. Sempre que \(B fosse singular e ambos os sistemas fossem consistentes, as soluções das colunas seriam definidas apenas até vetores do núcleo de B, dando infinitas soluções para X. Mas no caso concreto, como não há solução para a segunda coluna, o problema tem solução inexistente.]

Resposta

Não existe matriz X tal que B X = A.
Como \det(B)=0, mesmo que existisse uma solução ela não seria única; aqui, porém, não há solução.

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