Considere a matriz A=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 6 & 2 \\\\ 0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right].
a) Encontre uma base para o espaço \operatorname{Col}(A).
b) Determine determine a dimensão de \operatorname{Col}(A), ou o posto de A .
c) Determine o conjunto \operatorname{Nul}(A), qual a sua dimensão?
d) Diga se a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{4} dada por T(\vec{x})=A \vec{x} é injetora, justifique a sua resposta com poucas palavras.
e) Diga se a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{4} dada por T(\vec{x})=A \vec{x} é sobrejetora, justifique a sua resposta com poucas palavras.

Passo 1

Enunciado e o que se pede (resumido): temos a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 6 & 2 \\[4pt] 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
As perguntas são:
a) Encontrar uma base para o espaço \operatorname{Col}(A).
b) Determinar a dimensão de \operatorname{Col}(A), isto é, o posto de A.
c) Determinar o conjunto \operatorname{Nul}(A) e qual a sua dimensão.
d) Dizer se a transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{4} dada por T(\vec{x})=A\vec{x} é injetora, com justificativa curta.
e) Dizer se T é sobrejetora, com justificativa curta.
Informações relevantes dadas: a matriz A é de tamanho 4\times2; suas colunas estarão no espaço \mathbb{R}^4 e a transformação T tem domínio \mathbb{R}^2 e contradomínio \mathbb{R}^4.]

Passo 2

O que é \operatorname{Col}(A) e como achar uma base:
\operatorname{Col}(A) é o subespaço de \mathbb{R}^4 gerado pelas colunas de A. Uma base para \operatorname{Col}(A) pode ser obtida pegando as colunas de A que são linearmente independentes. Vamos escrever as colunas de A:
c_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]6\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad c_2=\begin{pmatrix}0\\[4pt]2\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Esses vetores são candidatos para formar uma base; precisamos verificar se são linearmente independentes.]

Passo 3

Teste de independência linear das colunas (explicando o método):
Para testar se c_1\) e \(c_2\) são linearmente independentes, considerei a combinação linear \[a\,c_1 + b\,c_2 = \vec{0},
onde a,b\in\mathbb{R} e \vec{0} é o vetor nulo de \mathbb{R}^4. Escrevendo componente a componente obtemos o sistema
\begin{cases} a\cdot 1 + b\cdot 0 = 0,\\[4pt] a\cdot 6 + b\cdot 2 = 0,\\[4pt] a\cdot 0 + b\cdot 0 = 0,\\[4pt] a\cdot 0 + b\cdot 0 = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem a=0\]. Substituindo na segunda obtemos \(0\cdot 6 + 2b=0, logo b=0. As duas últimas equações são 0=0 (sem informação). Concluímos que a única solução é a=b=0, portanto c_1 e c_2 são linearmente independentes.
Como ambas as colunas são independentes, elas formam uma base de \operatorname{Col}(A). Assim uma base é \{c_1,c_2\} com c_1 e c_2 dados acima.]

Passo 4

Conclusão sobre a dimensão do espaço coluna (posto):
A dimensão de \operatorname{Col}(A) é o número de vetores numa base, aqui 2. Esse número é o posto de A. Observação prática: o posto não pode exceder o número de colunas (aqui 2), e de fato é 2.

Passo 5

O que é [\operatorname{Nul}(A)) e como encontrá-la:
\operatorname{Nul}(A) é o conjunto de vetores \vec{x}\in\mathbb{R}^2 tais que A\vec{x}=\vec{0}. Escrevemos \vec{x}=\begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix} e montamos o sistema linear A\vec{x}=\vec{0}. Isso dá, componente a componente:
\begin{cases} 1\cdot x_1 + 0\cdot x_2 = 0,\\[4pt] 6\cdot x_1 + 2\cdot x_2 = 0,\\[4pt] 0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 = 0,\\[4pt] 0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem x_1=0\]. Substituindo na segunda obtemos \(6\cdot 0 + 2 x_2 = 0, logo x_2=0. As outras duas equações não impõem novas condições. Portanto a única solução é x_1=0,\;x_2=0, ou seja \operatorname{Nul}(A)=\{\vec{0}\}.]

Passo 6

Dimensão de \operatorname{Nul}(A) e relação com posto (explicação didática):
A dimensão de \operatorname{Nul}(A) é o número de parâmetros livres na solução de A\vec{x}=\vec{0}. Aqui não há parâmetros livres, então \dim(\operatorname{Nul}(A))=0. Isso coincide com o Teorema posto-nulidade (rank-nullity) que diz, para uma matriz m\times n,
\dim(\operatorname{Col}(A))+\dim(\operatorname{Nul}(A))=n.
No nosso caso n=2 (duas colunas), \dim(\operatorname{Col}(A))=2, então \dim(\operatorname{Nul}(A))=2-2=0, consistente com o que encontramos.

Passo 7

Injetividade e sobrejetividade de T (com justificativas curtas):
  • Injetividade: uma transformação linear T é injetora se e somente se \operatorname{Nul}(A)=\{\vec{0}\}. Como já vimos \operatorname{Nul}(A)=\{\vec{0}\}, logo T é injetora. (Justificativa curta: apenas a solução trivial para A\vec{x}=\vec{0}.)
  • Sobrejetividade: T é sobrejetora se \operatorname{Col}(A)=\mathbb{R}^4. Mas \dim(\operatorname{Col}(A))=2, enquanto \dim(\mathbb{R}^4)=4; um subespaço de dimensão 2 não pode ser todo \mathbb{R}^4. Portanto T não é sobrejetora. (Justificativa curta: dimensão da imagem é 2, menor que 4.)

Resposta

a) \displaystyle \left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]6\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0\\[4pt]2\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}\right\}
b) \operatorname{rank}(A)=\dim(\operatorname{Col}(A))=2
c) \operatorname{Nul}(A)=\{\vec{0}\}. \dim(\operatorname{Nul}(A))=0
d) T é injetora. Justificativa curta: \operatorname{Nul}(A)=\{\vec{0}\}.
e) T não é sobrejetora. Justificativa curta: \dim(\operatorname{Col}(A))=2<4.]

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