Classifique quanto à injetividade e sobrejetividade:
T: M_{2 \times 2} \rightarrow \mathbb{R}, T(A)=\operatorname{tr}(A)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o operador T: M_{2 \times 2} \to \mathbb{R} definido por T(A)=\operatorname{tr}(A).
  • Aqui M_{2 \times 2} é o espaço vetorial de todas as matrizes reais 2\times2.
  • A tarefa: classificar T quanto à injetividade e quanto à sobrejetividade (ou seja, dizer se é injetiva ou não, e se é sobrejetiva ou não).
Informações relevantes fornecidas:
  • A definição da aplicação: para qualquer A\in M_{2\times2}, T(A) é a soma das entradas da diagonal de A (essa soma chama-se traço).
  • O contradomínio é \mathbb{R}.

Passo 2

O que é o traço e por que T é linear (isso é importante para aplicar ferramentas de álgebra linear).
  • Definição: para
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}\in M_{2\times2},
temos
\operatorname{tr}(A)=a+d,
ou seja, o traço é a soma das entradas da diagonal principal.
  • Verificação de linearidade (mostrar que T é transformação linear):
    • Aditividade: para A,B\in M_{2\times2},
    \operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B),porque somando matrizes somam-se as entradas diagonais termo a termo.
    • Homogeneidade: para \lambda\in\mathbb{R} e A\in M_{2\times2},
    \operatorname{tr}(\lambda A)=\lambda\,\operatorname{tr}(A),porque multiplicar a matriz por \lambda multiplica as entradas diagonais por \lambda.
  • Conclusão desta etapa: T é uma aplicação linear de um espaço vetorial de dimensão 4 (porque M_{2\times2} tem base formada pelas quatro matrizes canônicas) para um espaço de dimensão 1 (que é \mathbb{R}).]

Passo 3

Testando sobrejetividade (existe pré-imagem para todo número real?).
  • Queremos ver se, para todo r\in\mathbb{R}, existe A\in M_{2\times2} tal que \operatorname{tr}(A)=r.
  • Construção explícita: tome, por exemplo,
A_r=\begin{pmatrix}r & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Então
T(A_r)=\operatorname{tr}(A_r)=r+0=r.
  • Como a escolha acima funciona para qualquer r\in\mathbb{R}, isso mostra que cada número real tem pelo menos uma pré-imagem em M_{2\times2}.
  • Portanto a imagem de T é todo \mathbb{R}, ou seja, T atinge qualquer valor real que se queira. (Isto é a definição de sobrejetividade.)]

Passo 4

Testando injetividade (o núcleo é só o zero?). Estratégia: examinar o núcleo e dar um contra-exemplo.
  • Núcleo de T: \ker T=\{A\in M_{2\times2}:\operatorname{tr}(A)=0\}.
  • Escrevendo uma matriz genérica
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
a condição \operatorname{tr}(A)=0 é
a+d=0 \quad\Longleftrightarrow\quad d=-a.
Logo as matrizes do núcleo têm a forma
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & -a\end{pmatrix},
com a,b,c\in\mathbb{R} livres. Isso mostra que o núcleo tem três graus de liberdade (três parâmetros livres).
  • Exemplo explícito de matriz não-nula no núcleo: tome
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
Tem-se \operatorname{tr}(A)=1+(-1)=0 e A\neq 0. Assim existe A\neq 0 com T(A)=0.
  • Conclusão intermediária: o núcleo não é apenas \{0\}, logo T não é injetiva.]

Passo 5

Complemento com a fórmula dimensão (teorema da dimensão/Rank-Nullity) para consolidar a intuição.
  • O teorema diz que, para uma transformação linear entre espaços de dimensão finita,
\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{im} T)=\dim(\text{domínio}).í
  • Aqui \dim(\text{domínio})=\dim(M_{2\times2})=4í.
  • Vimos na Passo 3 que \operatorname{im} T=\mathbb{R}, então \dim(\operatorname{im} T)=1.
  • Portanto
\dim(\ker T)=4-1=3,
coerente com a contagem anterior (parâmetros a,b,c). Isso reforça que o núcleo é de dimensão 3 (não trivial), o que confirma que T não é injetiva, e que o posto (rank) é 1.

Resposta

Injetiva: não
Sobrejetiva: sim

Exercícios relacionados