Classifique quanto à injetividade e sobrejetividade:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado o operador
definido por . - Aqui
é o espaço vetorial de todas as matrizes reais . - A tarefa: classificar
quanto à injetividade e quanto à sobrejetividade (ou seja, dizer se é injetiva ou não, e se é sobrejetiva ou não).
Informações relevantes fornecidas:
- A definição da aplicação: para qualquer
, é a soma das entradas da diagonal de (essa soma chama-se traço). - O contradomínio é
.
Passo 2
O que é o traço e por que
é linear (isso é importante para aplicar ferramentas de álgebra linear).
- Definição: para
temos
ou seja, o traço é a soma das entradas da diagonal principal.
- Verificação de linearidade (mostrar que
é transformação linear): - Aditividade: para
,
porque somando matrizes somam-se as entradas diagonais termo a termo. - Homogeneidade: para
e ,
porque multiplicar a matriz por multiplica as entradas diagonais por . - Aditividade: para
- Conclusão desta etapa:
é uma aplicação linear de um espaço vetorial de dimensão (porque tem base formada pelas quatro matrizes canônicas) para um espaço de dimensão (que é ).]
Passo 3
Testando sobrejetividade (existe pré-imagem para todo número real?).
- Queremos ver se, para todo
, existe tal que . - Construção explícita: tome, por exemplo,
Então
- Como a escolha acima funciona para qualquer
, isso mostra que cada número real tem pelo menos uma pré-imagem em . - Portanto a imagem de
é todo , ou seja, atinge qualquer valor real que se queira. (Isto é a definição de sobrejetividade.)]
Passo 4
Testando injetividade (o núcleo é só o zero?). Estratégia: examinar o núcleo e dar um contra-exemplo.
- Núcleo de
: . - Escrevendo uma matriz genérica
a condição
é
Logo as matrizes do núcleo têm a forma
com
livres. Isso mostra que o núcleo tem três graus de liberdade (três parâmetros livres).
- Exemplo explícito de matriz não-nula no núcleo: tome
Tem-se
e
. Assim existe
com
.
- Conclusão intermediária: o núcleo não é apenas
, logo não é injetiva.]
Passo 5
Complemento com a fórmula dimensão (teorema da dimensão/Rank-Nullity) para consolidar a intuição.
- O teorema diz que, para uma transformação linear entre espaços de dimensão finita,
- Aqui
. - Vimos na Passo 3 que
, então . - Portanto
coerente com a contagem anterior (parâmetros
). Isso reforça que o núcleo é de dimensão
(não trivial), o que confirma que
não é injetiva, e que o posto (rank) é
.
Resposta
Injetiva: não
Sobrejetiva: sim
Sobrejetiva: sim