Dada as matrizes A=\left[\begin{array}{cc}x & -1 \\\\ 3 & 1-x\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{cc}1 & -6 \\\\ 1 & x-5\end{array}\right]. Encontre os valores de x para que \operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(B)

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e B e pede os valores de x para que os determinantes sejam iguais. As informações dadas são:
  • A=\left[\begin{array}{cc}x & -1 \\[4pt] 3 & 1-x\end{array}\right].
  • B=\left[\begin{array}{cc}1 & -6 \\[4pt] 1 & x-5\end{array}\right].
O que precisa ser encontrado: todos os valores de x tais que
\det(A)=\det(B).]

Passo 2

Primeiro, recordar e entender como calcular o determinante de uma matriz 2\times2. Se
M=\left[\begin{array}{cc}a & b \\[4pt] c & d\end{array}\right],
então o determinante de M é dado por
\det(M)=ad-bc.
Aqui a,b,c,d são as entradas da matriz; a fórmula multiplica a diagonal principal a\cdot d e subtrai o produto da outra diagonal b\cdot c.
Agora aplicamos essa fórmula a A e a B.]

Passo 3

Calcular \det(A) usando a fórmula:
\det(A)=x\cdot(1-x)-(-1)\cdot 3.
Desenvolvendo,
\det(A)=x(1-x)+3 = x - x^2 + 3 = -x^2 + x + 3.
Calcular \det(B):
\det(B)=1\cdot(x-5)-(-6)\cdot 1.
Desenvolvendo,
\det(B)=x-5+6 = x+1.

Passo 4

Agora impomos a igualdade pedida pelo enunciado:
\det(A)=\det(B)
ou seja
-x^2 + x + 3 = x + 1.
Resolver essa equação passo a passo: subtrair x+1 de ambos os lados para agrupar termos em um lado:
-x^2 + x + 3 - (x+1)=0.
Simplificando os termos semelhantes:
-x^2 + x + 3 - x - 1 = 0
-x^2 + 2 = 0.
Multiplicar por -1 (ou reorganizar) para obter a forma padrão:
x^2 - 2 = 0.
Essa é uma equação quadrática simples. Resolver isolando x^2:
x^2 = 2.
Logo as soluções são
x=\pm\sqrt{2}.

Passo 5

Verificação rápida (para ganhar confiança):
  • Para x=\sqrt{2}: \det(A)=-x^2+x+3=-2+\sqrt{2}+3=\sqrt{2}+1 e \det(B)=x+1=\sqrt{2}+1. Iguais.
  • Para x=-\sqrt{2}: \det(A)=-x^2+x+3=-2-\sqrt{2}+3=1-\sqrt{2} e \det(B)=x+1=-\sqrt{2}+1. Iguais.
Ambas as soluções são válidas.

Resposta

x=\sqrt{2}
x=-\sqrt{2}

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