Encontre os valores de x para os quais
\operatorname{det} A=0, onde A=\left[\begin{array}{cc}x-2 & 1 \\\\ -5 & x+4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}x-2 & 1\\[4pt] -5 & x+4\end{pmatrix}
e pede: encontrar todos os valores de x tais que \det A=0.
Informações relevantes:
  • Elemento a_{11}=x-2.
  • Elemento a_{12}=1.
  • Elemento a_{21}=-5.
  • Elemento a_{22}=x+4.
  • Objetivo: resolver a equação \det A=0.]

Passo 2

Primeiro, lembrar e explicar a fórmula do determinante para matrizes 2\times2. Para
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é dado por
\det M = ad - bc.
Aqui a,d são os elementos da diagonal principal e b,c os da outra diagonal; subtrai-se o produto da segunda diagonal do produto da primeira.]

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso dado, com a=x-2, b=1, c=-5, d=x+4, obtemos
\det A = (x-2)(x+4) - (1)(-5).
Agora vou desenvolver essa expressão passo a passo, usando a técnica FOIL (First, Outer, Inner, Last) para multiplicar dois binômios.

Passo 4

Expandindo (x-2)(x+4):
(x-2)(x+4) = x\cdot x + x\cdot 4 + (-2)\cdot x + (-2)\cdot 4 = x^2 + 4x - 2x - 8.
Somando o termo vindo de -(1)(-5) que é +5, temos
\det A = x^2 + 4x - 2x - 8 + 5.
Agrupando termos semelhantes:
\det A = x^2 + 2x - 3.

Passo 5

Queremos \det A=0, então resolvemos a equação quadrática
x^2 + 2x - 3 = 0.
Uma maneira direta é fatorar: procurar dois números cujo produto é -3 e cuja soma é 2. Esses números são 3 e -1. Assim
x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1).

Passo 6

Se (x+3)(x-1)=0, então pelo princípio do produto nulo um dos fatores é zero. Assim:
x+3=0 \quad\Rightarrow\quad x=-3,
x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=1.
(Como checagem opcional, poderia-se usar a fórmula de Bhaskara \,x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\, com a=1, b=2, c=-3 e obter os mesmos resultados.)

Passo 7

Interpretação rápida (útil para a prova): para x=-3 ou x=1 a matriz A tem determinante zero, isto é, ela é singular (não invertível). Para qualquer outro valor de x a matriz é invertível.

Resposta

x=1
x=-3

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