Encontre os valores de x para os quais \operatorname{det} B=11, onde B=\left[\begin{array}{cc}2 x & x-2 \\\\ 4 x+5 & 3 x-1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os valores de x tais que \operatorname{det} B = 11, onde a matriz B é
B = \begin{pmatrix}2x & x-2\\[4pt] 4x+5 & 3x-1\end{pmatrix}.
Informações dadas:
Elementos da primeira linha: 2x e x-2.
Elementos da segunda linha: 4x+5 e 3x-1.
Condição a satisfazer: \operatorname{det} B = 11.]
Passo 2
Recordando a fórmula do determinante para uma matriz 2\times2:
\text{Se } M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}, \quad \operatorname{det}M = ad - bc.
Aqui a,b,c,d representam os quatro elementos da matriz, e o determinante é o produto da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária. Essa é uma regra direta que se aplica a qualquer matriz 2\times2.]
A condição do enunciado é \operatorname{det}B = 11. Logo:
2x^2 + x + 10 = 11.
Subtraindo 11 dos dois lados:
2x^2 + x - 1 = 0.
Passo 6
Resolvendo a equação quadrática 2x^2 + x - 1 = 0. Vou tentar fatorar: busca-se dois números cujo produto seja 2\cdot(-1)=-2 e cuja soma seja 1. Esses números são 2 e -1. Assim:
2x^2 + x - 1 = 2x^2 + 2x - x - 1 = 2x(x+1) -1(x+1) = (2x-1)(x+1).