Encontre os valores de x para os quais
\operatorname{det} B=11, onde B=\left[\begin{array}{cc}2 x & x-2 \\\\ 4 x+5 & 3 x-1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os valores de x tais que \operatorname{det} B = 11, onde a matriz B é
B = \begin{pmatrix}2x & x-2\\[4pt] 4x+5 & 3x-1\end{pmatrix}.
Informações dadas:
  • Elementos da primeira linha: 2x e x-2.
  • Elementos da segunda linha: 4x+5 e 3x-1.
  • Condição a satisfazer: \operatorname{det} B = 11.]

Passo 2

Recordando a fórmula do determinante para uma matriz 2\times2:
\text{Se } M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}, \quad \operatorname{det}M = ad - bc.
Aqui a,b,c,d representam os quatro elementos da matriz, e o determinante é o produto da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária. Essa é uma regra direta que se aplica a qualquer matriz 2\times2.]

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso da matriz B:
\operatorname{det}B = (2x)\cdot(3x-1) - (x-2)\cdot(4x+5).
Agora vamos desenvolver cada produto passo a passo.

Passo 4

Expandindo os produtos:
(2x)(3x-1) = 6x^2 - 2x,
(x-2)(4x+5) = x\cdot(4x+5) - 2\cdot(4x+5) = (4x^2 + 5x) - (8x + 10) = 4x^2 +5x -8x -10.
Simplificando o segundo produto:
4x^2 +5x -8x -10 = 4x^2 -3x -10.

Passo 5

Substituindo as expansões na expressão do determinante e simplificando:
\operatorname{det}B = (6x^2 - 2x) - (4x^2 - 3x - 10).
\operatorname{det}B = 6x^2 - 2x - 4x^2 + 3x + 10 = 2x^2 + x + 10.
A condição do enunciado é \operatorname{det}B = 11. Logo:
2x^2 + x + 10 = 11.
Subtraindo 11 dos dois lados:
2x^2 + x - 1 = 0.

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática 2x^2 + x - 1 = 0. Vou tentar fatorar: busca-se dois números cujo produto seja 2\cdot(-1)=-2 e cuja soma seja 1. Esses números são 2 e -1. Assim:
2x^2 + x - 1 = 2x^2 + 2x - x - 1 = 2x(x+1) -1(x+1) = (2x-1)(x+1).
Portanto a equação vira
(2x-1)(x+1)=0.
Das raízes dos fatores obtemos:
2x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{1}{2},
x+1=0 \quad\Rightarrow\quad x=-1.

Resposta

x=\tfrac{1}{2}
x=-1

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