Seja V o subespaço gerado pelos vetores listados. (a) Encontre uma base para V, (b) Dê a dimensz̃o de V, (c) Complete a base encontrada para obter uma base do espaço total.
\boldsymbol{E} \mathbf{m} \mathbb{R}^{3}: v_{1}=(2,1,3), v_{2}=(4,2,6), v_{3}=(6,3,9).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Vetores fornecidos em \mathbb{R}^3: v_{1}=(2,1,3),\qquad v_{2}=(4,2,6),\qquad v_{3}=(6,3,9).
  • Perguntas:
    (a) Encontre uma base para V=\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}.
    (b) Determine a dimensão de V.
    (c) Complete a base encontrada para obter uma base do espaço total \mathbb{R}^3.

Passo 2

Conceitos essenciais (rapidinho, tipo “aula de bolso”):
  • \operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\} é o conjunto de todas as combinações lineares a_1v_1+\cdots+a_kv_k.
  • Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única solução da combinação linear a_1v_1+\cdots+a_kv_k=0 é a_1=\cdots=a_k=0.
  • Uma base de um subespaço é um conjunto que gera o subespaço (span) e é linearmente independente.
  • A dimensão de um subespaço é o número de vetores de qualquer base desse subespaço.
Vou usar esses conceitos passo a passo para este caso concreto.

Passo 3

Verificar relações simples entre os vetores dados (procura-se dependência óbvia).
Calculo 2v_1 e 3v_1:
2v_1 = 2\cdot(2,1,3)=(4,2,6)=v_2, \qquad 3v_1 = 3\cdot(2,1,3)=(6,3,9)=v_3.
Portanto há relações lineares:
v_2 - 2v_1 = 0,\qquad v_3 - 3v_1 = 0.
Isso mostra que v_2 e v_3 são múltiplos escalares de v_1. Logo todos os três vetores estão na mesma reta através da origem — ou seja, geram um subespaço unidimensional.

Passo 4

Escolher uma base para V.
Como v_2 e v_3 são múltiplos de v_1, o span \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\} é igual a \operatorname{span}\{v_1\}. Basta tomar v_1 (que é não‑nulo) como gerador.
Agora conferir que \{v_1\} é linearmente independente: se a\,v_1=0 então olhando a terceira componente temos 3a=0, logo a=0. Portanto \{v_1\} é independente.
Conclusão: \{v_1\} é uma base de V.

Passo 5

Determinar a dimensão de V.
A dimensão é o número de vetores em qualquer base de V. Como encontramos a base \{v_1\} com um vetor, segue que
\dim(V)=1.

Passo 6

Completar a base de V para uma base de \mathbb{R}^3.
Precisamos adicionar dois vetores a \{v_1\} de modo que o conjunto final tenha três vetores linearmente independentes. Uma escolha prática é usar vetores da base canônica que não fiquem no span de v_1. Por exemplo, tomo
e_1=(1,0,0),\qquad e_2=(0,1,0).
Mostro que \{v_1,e_1,e_2\} é independente. Considere a combinação
\alpha v_1+\beta e_1+\gamma e_2=0.
Escrevendo componentes:
(2\alpha+\beta,\\ \alpha+\gamma,\\\ 3\alpha)=(0,0,0).
Da terceira componente vem 3\alpha=0\Rightarrow \alpha=0. Substituindo, 2\cdot0+\beta=0\Rightarrow\beta=0 e 0+\gamma=0\Rightarrow\gamma=0. Logo \alpha=\beta=\gamma=0 e o conjunto é independente. Como tem 3 vetores independentes em \mathbb{R}^3, é uma base de \mathbb{R}^3.
Observação: outras escolhas para completar a base também são possíveis; o importante é escolher vetores que não pertençam ao span de v_1.

Resposta

(a) \{(2,1,3)\}
(b) \;1
(c) \{(2,1,3),\\ (1,0,0),\\ (0,1,0)\}

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