Seja
o subespaço gerado pelos vetores listados. (a) Encontre uma base para
, (b) Dê a dimensz̃o de
, (c) Complete a base encontrada para obter uma base do espaço total.
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Vetores fornecidos em
: - Perguntas:
(a) Encontre uma base para.
(b) Determine a dimensão de.
(c) Complete a base encontrada para obter uma base do espaço total.
Passo 2
Conceitos essenciais (rapidinho, tipo “aula de bolso”):
-
é o conjunto de todas as combinações lineares . - Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única solução da combinação linear
é . - Uma base de um subespaço é um conjunto que gera o subespaço (span) e é linearmente independente.
- A dimensão de um subespaço é o número de vetores de qualquer base desse subespaço.
Vou usar esses conceitos passo a passo para este caso concreto.
Passo 3
Verificar relações simples entre os vetores dados (procura-se dependência óbvia).
Calculo
e
:
Portanto há relações lineares:
Isso mostra que
e
são múltiplos escalares de
. Logo todos os três vetores estão na mesma reta através da origem — ou seja, geram um subespaço unidimensional.
Passo 4
Escolher uma base para
.
Como
e
são múltiplos de
, o span
é igual a
. Basta tomar
(que é não‑nulo) como gerador.
Agora conferir que
é linearmente independente: se
então olhando a terceira componente temos
, logo
. Portanto
é independente.
Conclusão:
é uma base de
.
Passo 5
Determinar a dimensão de
.
A dimensão é o número de vetores em qualquer base de
. Como encontramos a base
com um vetor, segue que
Passo 6
Completar a base de
para uma base de
.
Precisamos adicionar dois vetores a
de modo que o conjunto final tenha três vetores linearmente independentes. Uma escolha prática é usar vetores da base canônica que não fiquem no span de
. Por exemplo, tomo
Mostro que
é independente. Considere a combinação
Escrevendo componentes:
Da terceira componente vem
. Substituindo,
e
. Logo
e o conjunto é independente. Como tem 3 vetores independentes em
, é uma base de
.
Observação: outras escolhas para completar a base também são possíveis; o importante é escolher vetores que não pertençam ao span de
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)