Seja V o subespaço gerado pelos vetores listados. (a) Encontre uma base para V, (b) Dê a dimensz̃o de V, (c) Complete a base encontrada para obter uma base do espaço total.
\boldsymbol{E} \mathbf{m} \mathbb{R}^{5}: v_{1}=(1,0,0,0,0), v_{2}=(0,1,0,0,0), v_{3}=(1,1,0,0,0).

Passo 1

O enunciado dá o subespaço V gerado pelos vetores em \mathbb{R}^{5}:
v_{1}=(1,0,0,0,0),\qquad v_{2}=(0,1,0,0,0),\qquad v_{3}=(1,1,0,0,0).
As perguntas são:
(a) Encontrar uma base para V.
(b) Determinar a dimensão de V.
(c) Completar a base encontrada para obter uma base de \mathbb{R}^{5}.

Passo 2

Primeiro, lembrar o que significa “base” e “gerar”:
  • Um conjunto de vetores é uma base de um subespaço quando (i) gera esse subespaço (ou seja, o subespaço é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores) e (ii) os vetores são linearmente independentes (nenhum deles é combinação linear dos outros).
  • Para verificar independência linear de vetores \{w_1,\dots,w_k\} em \mathbb{R}^{n} testa-se se a única solução do sistema
\alpha_1 w_1+\cdots+\alpha_k w_k = 0
é \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0.

Passo 3

Observar relações entre os vetores dados. Calcular a combinação
v_{3}-v_{1}-v_{2}=(1,1,0,0,0)-(1,0,0,0,0)-(0,1,0,0,0)=(0,0,0,0,0).
Isto mostra que existe uma combinação linear não-trivial entre v_{1},v_{2},v_{3}, logo os três são linearmente dependentes: especificamente
v_{3}=v_{1}+v_{2}.
Portanto v_{3} é redundante para gerar V.

Passo 4

Agora verificar que v_{1} e v_{2} são linearmente independentes. Considere
\alpha v_{1}+\beta v_{2}=(0,0,0,0,0).
Escrevendo componentes:
(\alpha,\beta,0,0,0)=(0,0,0,0,0).
Então \alpha=0 e \beta=0. Assim a única solução é a trivial, logo \{v_{1},v_{2}\} é um conjunto linearmente independente.

Passo 5

Mostrar que \{v_{1},v_{2}\} gera V. Já vimos que v_{3}=v_{1}+v_{2}, então qualquer combinação linear de v_{1},v_{2},v_{3} pode ser escrita apenas com v_{1} e v_{2}. Assim
\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}=\operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}.
Portanto \{v_{1},v_{2}\} gera V e, por ser independente, é uma base de V.

Passo 6

Concluir a parte (a) e (b): uma base para V é \{v_{1},v_{2}\}. A dimensão de V é o número de vetores na base, ou seja 2.

Passo 7

Para completar a base de V até uma base de \mathbb{R}^{5} (parte (c)), precisamos adicionar vetores que tornem o conjunto gerador de \mathbb{R}^{5} mantendo independência. Uma escolha natural são os vetores unitários restantes:
e_{3}=(0,0,1,0,0),\qquad e_{4}=(0,0,0,1,0),\qquad e_{5}=(0,0,0,0,1).
Argumento de independência: se
\alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma e_{3}+\delta e_{4}+\varepsilon e_{5}=0,
escrevendo componentes obtém-se o sistema
(\alpha,\beta,\gamma,\delta,\varepsilon)=(0,0,0,0,0),
logo todos os coeficientes são zero; assim os cinco vetores são linearmente independentes. Como são cinco vetores independentes em \mathbb{R}^{5}, formam uma base de \mathbb{R}^{5}.

Resposta

(a) \{(1,0,0,0,0),\,(0,1,0,0,0)\}
(b) \dim(V)=2
(c) Uma base de \mathbb{R}^{5} obtida completando é \{(1,0,0,0,0),\,(0,1,0,0,0),\,(0,0,1,0,0),\,(0,0,0,1,0),\,(0,0,0,0,1)\}

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