Seja
o subespaço gerado pelos vetores listados. (a) Encontre uma base para
, (b) Dê a dimensz̃o de
, (c) Complete a base encontrada para obter uma base do espaço total.
.
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
gerado pelos vetores em
:
As perguntas são:
(a) Encontrar uma base para .
(b) Determinar a dimensão de .
(c) Completar a base encontrada para obter uma base de .
(a) Encontrar uma base para
(b) Determinar a dimensão de
(c) Completar a base encontrada para obter uma base de
Passo 2
Primeiro, lembrar o que significa “base” e “gerar”:
- Um conjunto de vetores é uma base de um subespaço quando (i) gera esse subespaço (ou seja, o subespaço é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores) e (ii) os vetores são linearmente independentes (nenhum deles é combinação linear dos outros).
- Para verificar independência linear de vetores
em testa-se se a única solução do sistema
é
.
Passo 3
Observar relações entre os vetores dados. Calcular a combinação
Isto mostra que existe uma combinação linear não-trivial entre
, logo os três são linearmente dependentes: especificamente
Portanto
é redundante para gerar
.
Passo 4
Agora verificar que
e
são linearmente independentes. Considere
Escrevendo componentes:
Então
e
. Assim a única solução é a trivial, logo
é um conjunto linearmente independente.
Passo 5
Mostrar que
gera
. Já vimos que
, então qualquer combinação linear de
pode ser escrita apenas com
e
. Assim
Portanto
gera
e, por ser independente, é uma base de
.
Passo 6
Concluir a parte (a) e (b): uma base para
é
. A dimensão de
é o número de vetores na base, ou seja
.
Passo 7
Para completar a base de
até uma base de
(parte (c)), precisamos adicionar vetores que tornem o conjunto gerador de
mantendo independência. Uma escolha natural são os vetores unitários restantes:
Argumento de independência: se
escrevendo componentes obtém-se o sistema
logo todos os coeficientes são zero; assim os cinco vetores são linearmente independentes. Como são cinco vetores independentes em
, formam uma base de
.
Resposta
(a)
(b)
(c) Uma base de
obtida completando é