Determine os polinômios característicos, os autovalores, os autovetores e a matriz diagonal correspondente de cada uma das matrizes, em relação a base canônica, dos operadores lineares dados por:
Passo 1
O enunciado nos dá o operador linear
definido por
Queremos, na base canônica, obter o polinômio característico, os autovalores, os autovetores e a forma diagonal de sua matriz.
Passo 2
Na base canônica
, a matriz de
é
Passo 3
Calculamos o polinômio característico de
como
Expandindo o determinante,
Passo 4
Resolvendo
, ou seja
fatoramos
e obtemos os autovalores
Passo 5
Para
resolvemos
:
Um autovetor correspondente é
Para
resolvemos
:
Um autovetor correspondente é
Passo 6
Como há dois autovalores distintos,
é diagonalizável. A forma diagonal
obtida por
, onde as colunas de
são
e
, é
Resposta
Polinômio característico:
Autovalores:
,
.
Autovetores:
Autovetores:
Matriz diagonal correspondente: