Determine os polinômios característicos, os autovalores, os autovetores e a matriz diagonal correspondente de cada uma das matrizes, em relação a base canônica, dos operadores lineares dados por:
F: R^{2} \rightarrow R^{2}, F(x, y)=(3 x-4 y, 2 x-6 y)

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear
F\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 definido por
F(x,y) = (3x - 4y,\;2x - 6y).
Queremos, na base canônica, obter o polinômio característico, os autovalores, os autovetores e a forma diagonal de sua matriz.

Passo 2

Na base canônica \{e_1,e_2\}, a matriz de F é
A = \begin{pmatrix} 3 & -4 \\[6pt] 2 & -6 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Calculamos o polinômio característico de A como
p(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix} 3 - \lambda & -4 \\[3pt] 2 & -6 - \lambda \end{pmatrix}.
Expandindo o determinante,
p(\lambda) = (3 - \lambda)(-6 - \lambda) - (-4)\cdot 2 = (\!-\!18 -3\lambda +6\lambda +\lambda^2) +8 = \lambda^2 +3\lambda -10.]

Passo 4

Resolvendo p(\lambda)=0, ou seja
\lambda^2 +3\lambda -10 = 0,
fatoramos
(\lambda - 2)(\lambda +5) = 0
e obtemos os autovalores
\lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = -5.

Passo 5

Para \lambda_1 = 2 resolvemos (A - 2I)v = 0:
\begin{pmatrix} 1 & -4 \\[3pt] 2 & -8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; x - 4y = 0 \;\Longrightarrow\; x = 4y.
Um autovetor correspondente é
v_1 = \begin{pmatrix}4\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda_2 = -5 resolvemos (A + 5I)v = 0:
\begin{pmatrix} 8 & -4 \\[3pt] 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; 8x - 4y = 0 \;\Longrightarrow\; y = 2x.
Um autovetor correspondente é
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Como há dois autovalores distintos, A é diagonalizável. A forma diagonal D obtida por P^{-1}AP, onde as colunas de P são v_1 e v_2, é
D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\[6pt] 0 & -5 \end{pmatrix}.]

Resposta

Polinômio característico:
p(\lambda) = \lambda^2 + 3\lambda - 10.
Autovalores: \lambda_1 = 2, \lambda_2 = -5.
Autovetores:
v_1 = \begin{pmatrix}4\\\ 1\end{pmatrix} \quad\text{(para \(\lambda_1\))}, \qquad v_2 = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \quad\text{(para \(\lambda_2\))}.
Matriz diagonal correspondente:
\begin{pmatrix} 2 & 0 \\[6pt] 0 & -5 \end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados