Dada a matruz
A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & -1 & 1 \\\\ -2 & 3 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 4 & -2 \\\\ 0 & 2 & 3 & 0 \end{array}\right]
Colcule:
a) \operatorname{det} A
b) det B, reabendo que B=\frac{1}{3} A^{-1} \cdot A^{\top} \cdot A^{4}
c) \operatorname{det} C, sabendo que C é uma matriz obtida de A por meio das seguntes operaçães elementares:
L_{2} \leftrightarrow L_{4} ; L_{2} \rightarrow L_{2}+2 . L_{1} ; L_{1} \rightarrow 3 . L_{1} ; L_{3} \rightarrow \frac{5}{2} L_{3} .

Passo 1

O enunciado pede três coisas envolvendo determinantes de matrizes de ordem 4. Primeiro, vamos achar \det A diretamente. Depois, usando propriedades de determinante, calculamos
\det B\quad\text{com}\quad B=\tfrac{1}{3}A^{-1}\,A^{\top}\,A^{4}.
Por fim, aplicamos o efeito das operações elementares em linhas para obter \det C, sabendo que C vem de A por
L_{2}\leftrightarrow L_{4},\quad L_{2}\to L_{2}+2\,L_{1},\quad L_{1}\to 3\,L_{1},\quad L_{3}\to \tfrac{5}{2}\,L_{3}.

Passo 2

Para \det A usemos expansão de Laplace ao longo da coluna 2 (há zeros em a_{1,2} e a_{3,2}). Denotemos
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1\\\\ -2 & 3 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & 4 & -2\\\\ 0 & 2 & 3 & 0 \end{pmatrix}.
Então
\det A =3\cdot\det M_{22} \;+\;2\cdot\det M_{42},
onde
M_{22}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 1 & 4 & -2\\\\ 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}, \quad M_{42}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ -2 & 0 & 1\\\\ 1 & 4 & -2 \end{pmatrix}.
Calculando cada 3×3:
\det M_{22} =1\,(4\cdot0-(-2)\cdot3) -(-1)\,(1\cdot0-(-2)\cdot0) +1\,(1\cdot3-4\cdot0) =6+0+3=9,
\det M_{42} =1\,(0\cdot(-2)-1\cdot4) -(-1)\,((-2)(-2)-1\cdot1) +1\,((-2)\cdot4-0\cdot1) =-4- (4-1)-8=-9.
Logo
\det A=3\cdot9+2\cdot(-9)=27-18=9.

Passo 3

Para \det B usamos
B=\tfrac13\,A^{-1}\;\cdot\;A^{\top}\;\cdot\;A^{4}.
Pelas propriedades:
\det(\tfrac13\,A^{-1}) =(\tfrac13)^{4}\det(A^{-1}) =\tfrac{1}{3^{4}}\;\tfrac{1}{\det A},
\det(A^{\top})=\det A, \quad \det(A^{4})=(\det A)^{4}.
Multiplicando tudo,
\det B =\tfrac{1}{3^{4}}\;\tfrac{1}{\det A}\;\det A\;(\det A)^{4} =\tfrac{1}{81}\;(9)^{4} =\tfrac{6561}{81}=81.

Passo 4

Cada operação em linhas altera \det assim:
  • Troca L_{2}\leftrightarrow L_{4}: muda sinal, fator -1.
  • Adição L_{2}\to L_{2}+2\,L_{1}: não altera o determinante, fator 1.
  • Escala L_{1}\to 3\,L_{1}: multiplica \det por 3.
  • Escala L_{3}\to \tfrac{5}{2}\,L_{3}: multiplica \det por \tfrac{5}{2}.
    Assim
\det C =\det A\;\times(-1)\times1\times3\times\tfrac{5}{2} =9\;\times(-\tfrac{15}{2}) =-\tfrac{135}{2}.

Resposta

a) \det A=9.
b) \det B=81.
c) \det C=-\tfrac{135}{2}.

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