Questão 24: Determine todos os valores de \lambda para os quais \operatorname{det}\left(A-\lambda I_{n}\right)=0, onde
A=\left[\begin{array}{lll}2 & 3 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os valores de \lambda que tornam \det\bigl(A - \lambda I_{n}\bigr)=0, onde
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
O conteúdo é determinante de matriz e, em particular, a propriedade de matrizes triangulares.

Passo 2

Formamos a matriz A - \lambda I_{n}. Como I_{n} é a identidade 3\times3, temos
A - \lambda I_{n} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0\\\\ 0 & \lambda & 0\\\\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - \lambda & 3 & 0\\\\ 0 & 1 - \lambda & 0\\\\ 0 & 0 & 2 - \lambda \end{pmatrix}.

Passo 3

Uma matriz triangular tem determinante igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Logo,
\det\bigl(A - \lambda I_{n}\bigr) = (2 - \lambda)\,(1 - \lambda)\,(2 - \lambda).

Passo 4

Para encontrar os \lambda que anulam esse determinante, resolvemos
(2 - \lambda)\,(1 - \lambda)\,(2 - \lambda) = 0.
Isso dá as equações 2-\lambda=0 ou 1-\lambda=0.

Passo 5

Resolvendo cada caso:
2 - \lambda = 0 \implies \lambda = 2,
1 - \lambda = 0 \implies \lambda = 1.
Note que \lambda=2 aparece duas vezes no produto, mas como valor distinto temos \lambda=1 e \lambda=2.

Resposta

\lambda = 1 ou \lambda = 2.

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