Se
prove que:
(b)
se, e somente se,
.
(b)
Passo 1
O enunciado quer mostrar a equivalência
onde
. Vamos usar que em
não existem divisores de zero, ou equivalentemente a lei de cancelamento: se
e
, então
.
Passo 2
Prova da implicação direta
:
Como a multiplicação em satisfaz
, basta observar que
Como a multiplicação em
Passo 3
Prova da implicação recíproca
:
Suponha . Então
Suponha
Se
, pela lei de cancelamento em
teríamos
, o que é absurdo. Logo a única possibilidade é
.
Resposta
Concluímos que