Se a, b \in \mathbb{Z} prove que:
(b) a^{2}=0 se, e somente se, a=0.

Passo 1

O enunciado quer mostrar a equivalência
a^{2}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad a=0
onde a\in\mathbb{Z}. Vamos usar que em \mathbb{Z} não existem divisores de zero, ou equivalentemente a lei de cancelamento: se a\neq0 e a x = a y, então x=y.

Passo 2

Prova da implicação direta \bigl(a=0\implies a^{2}=0\bigr):
Como a multiplicação em \mathbb{Z} satisfaz 0\cdot0=0, basta observar que
a=0 \;\Longrightarrow\; a^{2}=a\cdot a=0\cdot0=0.

Passo 3

Prova da implicação recíproca \bigl(a^{2}=0\implies a=0\bigr):
Suponha a^{2}=0. Então
a\cdot a = 0 = a\cdot 0.
Se a\neq0, pela lei de cancelamento em \mathbb{Z} teríamos a = 0, o que é absurdo. Logo a única possibilidade é a=0.

Resposta

Concluímos que
a^{2}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad a=0.

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