Se a, b \in \mathbb{Z} prove que:
(a) -(a+b)=-a-b.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar em \mathbb{Z} que o inverso aditivo de a+b coincide com a soma dos inversos de a e de b. Em outras palavras, queremos provar que
-(a+b)=(-a)+(-b).
Para isso, vamos usar as propriedades do grupo aditivo (\mathbb{Z},+): existência de inverso, unicidade do inverso e associatividade/ comutatividade da soma.

Passo 2

Mostramos que (-a)+(-b) é realmente o inverso de a+b verificando que a soma com a+b dá zero:
(a+b)+\bigl((-a)+(-b)\bigr) \;=\;a+b+(-a)+(-b) \;=\;\bigl(a+(-a)\bigr)+\bigl(b+(-b)\bigr) \;=\;0+0 \;=\;0.
Aqui usamos primeiro a associatividade e depois o fato de que a+(-a)=0 e b+(-b)=0.

Passo 3

Pelo axioma do grupo aditivo, todo elemento tem inverso único. Como já mostramos que (-a)+(-b) é um inverso de a+b e sabemos que esse inverso é único, concluímos que
-(a+b)=(-a)+(-b).

Resposta

-(a+b)=-a-b.

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