Se
prove que:
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar em
que o inverso aditivo de
coincide com a soma dos inversos de
e de
. Em outras palavras, queremos provar que
Para isso, vamos usar as propriedades do grupo aditivo
: existência de inverso, unicidade do inverso e associatividade/ comutatividade da soma.
Passo 2
Mostramos que
é realmente o inverso de
verificando que a soma com
dá zero:
Aqui usamos primeiro a associatividade e depois o fato de que
e
.
Passo 3
Pelo axioma do grupo aditivo, todo elemento tem inverso único. Como já mostramos que
é um inverso de
e sabemos que esse inverso é único, concluímos que