Em dada mistura de gases ocorrem as seguintes reações irreversíveis:
\begin{aligned} & A+B \rightarrow 3 C+2 D \\\ & A+3 B \rightarrow 2 E+3 D \end{aligned}
Obtenha as expressões que relacionam as frações molares de cada componente aos graus de avanço das reações, considerando que 5 mols de A e 2 mols de B estejam inicialmente presentes num reator batelada.

Passo 1

O enunciado descreve duas reações irreversíveis num reator batelada, com composição inicial de 5 mols de A e 2 mols de B. As reações são
A + B \longrightarrow 3\,C + 2\,D
A + 3\,B \longrightarrow 2\,E + 3\,D
Para relacionar as frações molares aos graus de avanço, vamos usar o método do avanço de reação (extent of reaction) e balanços de matéria.

Passo 2

Definimos os graus de avanço das reações como \xi_{1} para a primeira reação e \xi_{2} para a segunda, ambos em mols. Eles representam quantos mols de reação ocorreram de cada uma.

Passo 3

Escrevemos as variações de mol de cada espécie como soma dos contributos de cada reação. Seja n_{i,0} o número inicial de mols e n_{i} o número final de mols:
A variação de mols de cada componente é
n_{A} = n_{A,0} - 1\cdot\xi_{1} - 1\cdot\xi_{2}
n_{B} = n_{B,0} - 1\cdot\xi_{1} - 3\cdot\xi_{2}
n_{C} = 0 + 3\cdot\xi_{1}
n_{D} = 0 + 2\cdot\xi_{1} + 3\cdot\xi_{2}
n_{E} = 0 + 2\cdot\xi_{2}
Substituindo n_{A,0}=5 e n_{B,0}=2, fica
n_{A} = 5 - \xi_{1} - \xi_{2}
n_{B} = 2 - \xi_{1} - 3\,\xi_{2}
n_{C} = 3\,\xi_{1}
n_{D} = 2\,\xi_{1} + 3\,\xi_{2}
n_{E} = 2\,\xi_{2}

Passo 4

O número total de mols no sistema é
n_{\text{tot}} = n_{A} + n_{B} + n_{C} + n_{D} + n_{E}.
Somando as expressões acima:
n_{\text{tot}} = (5 - \xi_{1} - \xi_{2}) + (2 - \xi_{1} - 3\,\xi_{2}) + 3\,\xi_{1} + (2\,\xi_{1} + 3\,\xi_{2}) + 2\,\xi_{2} = 7 + 3\,\xi_{1} + \xi_{2}.

Passo 5

As frações molares y_{i} são definidas por
y_{i} = \frac{n_{i}}{n_{\text{tot}}}.
Logo, em função de \xi_{1} e \xi_{2}, temos
y_{A} = \frac{5 - \xi_{1} - \xi_{2}}{7 + 3\,\xi_{1} + \xi_{2}}, \quad y_{B} = \frac{2 - \xi_{1} - 3\,\xi_{2}}{7 + 3\,\xi_{1} + \xi_{2}},
y_{C} = \frac{3\,\xi_{1}}{7 + 3\,\xi_{1} + \xi_{2}}, \quad y_{D} = \frac{2\,\xi_{1} + 3\,\xi_{2}}{7 + 3\,\xi_{1} + \xi_{2}}, \quad y_{E} = \frac{2\,\xi_{2}}{7 + 3\,\xi_{1} + \xi_{2}}.

Resposta

As frações molares em função dos graus de avanço \xi_{1} e \xi_{2} são:
y_{A} = \frac{5 - \xi_{1} - \xi_{2}}{7 + 3\,\xi_{1} + \xi_{2}}, \quad y_{B} = \frac{2 - \xi_{1} - 3\,\xi_{2}}{7 + 3\,\xi_{1} + \xi_{2}},
y_{C} = \frac{3\,\xi_{1}}{7 + 3\,\xi_{1} + \xi_{2}}, \quad y_{D} = \frac{2\,\xi_{1} + 3\,\xi_{2}}{7 + 3\,\xi_{1} + \xi_{2}}, \quad y_{E} = \frac{2\,\xi_{2}}{7 + 3\,\xi_{1} + \xi_{2}}.

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