Calcule a derivada da função em cada caso:
f(x)=sin (sin (sin (sin (sin (x))))).

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função f(x) = sin(sin(sin(sin(sin(x))))) . O conteúdo que vamos usar aqui é a derivada de funções compostas, e para isso, a gente vai precisar aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia é super útil quando temos funções dentro de funções, como é o caso aqui com várias funções seno aninhadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as camadas das funções compostas. Aqui, temos cinco funções seno uma dentro da outra. Podemos pensar da seguinte forma:
  1. A função mais interna é sin(x) .
  2. Depois, temos sin(sin(x)) .
  3. Seguindo, sin(sin(sin(x))) .
  4. E assim por diante, até a quinta aplicação do seno.
Entender essa estrutura vai nos ajudar a aplicar a regra da cadeia passo a passo.

Passo 3

Vamos começar a derivar a função usando a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta f(g(x)) é f'(g(x)) cdot g'(x) .
Começando pela camada mais externa:
f(x) = sin(sin(sin(sin(sin(x)))))
A derivada de sin(u) é cos(u) , então aplicando a regra:
f'(x) = cos(sin(sin(sin(sin(x))))) cdot ddx[sin(sin(sin(sin(x))))]

Passo 4

Agora, vamos derivar sin(sin(sin(sin(x)))) . Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
ddx[sin(sin(sin(sin(x))))] = cos(sin(sin(sin(x)))) cdot ddx[sin(sin(sin(x)))]
Substituindo de volta na expressão de f'(x) :
f'(x) = cos(sin(sin(sin(sin(x))))) cdot cos(sin(sin(sin(x)))) cdot ddx[sin(sin(sin(x)))]

Passo 5

Continuando, derivamos sin(sin(sin(x))) :
ddx[sin(sin(sin(x)))] = cos(sin(sin(x))) cdot ddx[sin(sin(x))]
Substituindo de novo:
f'(x) = cos(sin(sin(sin(sin(x))))) cdot cos(sin(sin(sin(x)))) cdot cos(sin(sin(x))) cdot ddx[sin(sin(x))]

Passo 6

Vamos derivar sin(sin(x)) :
ddx[sin(sin(x))] = cos(sin(x)) cdot ddx[sin(x)]
E sabemos que ddx[sin(x)] = cos(x) . Então:
ddx[sin(sin(x))] = cos(sin(x)) cdot cos(x)
Substituindo na expressão de f'(x) :
f'(x) = cos(sin(sin(sin(sin(x))))) cdot cos(sin(sin(sin(x)))) cdot cos(sin(sin(x))) cdot cos(sin(x)) cdot cos(x)

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = cos(sin(sin(sin(sin(x))))) cdot cos(sin(sin(sin(x)))) cdot cos(sin(sin(x))) cdot cos(sin(x)) cdot cos(x)

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