Calcule a derivada da função em cada caso:
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada da função
. O conteúdo que vamos usar aqui é a derivada de funções compostas, e para isso, a gente vai precisar aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia é super útil quando temos funções dentro de funções, como é o caso aqui com várias funções seno aninhadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as camadas das funções compostas. Aqui, temos cinco funções seno uma dentro da outra. Podemos pensar da seguinte forma:
- A função mais interna é
. - Depois, temos
. - Seguindo,
. - E assim por diante, até a quinta aplicação do seno.
Entender essa estrutura vai nos ajudar a aplicar a regra da cadeia passo a passo.
Passo 3
Vamos começar a derivar a função usando a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta
é
.
Começando pela camada mais externa:
A derivada de
é
, então aplicando a regra:
Passo 4
Agora, vamos derivar
. Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
Substituindo de volta na expressão de
:
Passo 5
Continuando, derivamos
:
Substituindo de novo:
Passo 6
Vamos derivar
:
E sabemos que
. Então:
Substituindo na expressão de
:
Resposta
A derivada da função é: