Dada: f(x, y)=6 x^2 y-7 x^2 y^3, Obtenha:
A derivada direcional no ponto (-1 ;-12) na direção do vetor u=(-3 ; 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a derivada direcional da função $ f(x, y) = 6x^{2}y - 7x{2}y{3} $ no ponto f(x, y) = 6x^2y - 7x^2y^3 na direção do vetor $ \mathbf{u} = (-3, 0) $.
Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos:
  1. Derivada Direcional: Mede a taxa de variação da função em uma direção específica.
  2. Gradiente da Função: Um vetor que aponta na direção de maior aumento da função.
  3. Normalização do Vetor: Transformar o vetor direção em um vetor unitário (comprimento 1).
Vamos por passos para facilitar!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função $ f(x, y) $. O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $:
f(x, y)
Vamos calcular essas derivadas:
  1. Derivada parcial em relação a $ x $:
x
  1. Derivada parcial em relação a $ y $:
y
Então, o gradiente fica:
nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y )

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto (-1, -12).
Substituindo $ x = -1 $ e $ y = -\frac{1}{2} $ nas derivadas parciais:
  1. Para $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
x = -1
  1. Para $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
y = -12
Portanto, o gradiente no ponto partial fpartial x é:
12xy - 14xy^3 = 12(-1)(-12) - 14(-1)(-12)^3 = 6 - 14(-1)(-18) = 6 - 148 = 6 - 74 = 174

Passo 4

Agora, precisamos normalizar o vetor direção $ \mathbf{u} = (-3, 0) $. Isso significa transformar $ \mathbf{u} $ em um vetor unitário $ \mathbf{u}_{unit} $ com comprimento 1.
A fórmula para normalizar é:
u = (-3, 0)
onde $ ||\mathbf{u}|| $ é o comprimento do vetor $ \mathbf{u} $.
Calculando o comprimento de $ \mathbf{u} $:
u
Então, o vetor unitário é:
uunit

Passo 5

Com o gradiente calculado e o vetor direção normalizado, podemos encontrar a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
Duf = nabla f cdot uunit
Substituindo os valores:
Duf = (174, 34) cdot (-1, 0) = 174 cdot (-1) + 34 cdot 0 = -174 + 0 = -174

Resposta

A derivada direcional de $ f(x, y) = 6x^{2}y - 7x{2}y{3} $ no ponto f(x, y) = 6x^2y - 7x^2y^3 na direção do vetor $ \mathbf{u} = (-3, 0) $ é (-1, -12).

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