Dada:
, Obtenha:
A derivada direcional no ponto
na direção do vetor
A derivada direcional no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a derivada direcional da função $ f(x, y) = 6x^{2}y - 7x{2}y{3} $ no ponto
na direção do vetor $ \mathbf{u} = (-3, 0) $.
Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos:
- Derivada Direcional: Mede a taxa de variação da função em uma direção específica.
- Gradiente da Função: Um vetor que aponta na direção de maior aumento da função.
- Normalização do Vetor: Transformar o vetor direção em um vetor unitário (comprimento 1).
Vamos por passos para facilitar!
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função $ f(x, y) $. O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $:
Vamos calcular essas derivadas:
- Derivada parcial em relação a $ x $:
- Derivada parcial em relação a $ y $:
Então, o gradiente fica:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
.
Substituindo $ x = -1 $ e $ y = -\frac{1}{2} $ nas derivadas parciais:
- Para $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
- Para $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
Portanto, o gradiente no ponto
é:
Passo 4
Agora, precisamos normalizar o vetor direção $ \mathbf{u} = (-3, 0) $. Isso significa transformar $ \mathbf{u} $ em um vetor unitário $ \mathbf{u}_{unit} $ com comprimento 1.
A fórmula para normalizar é:
onde $ ||\mathbf{u}|| $ é o comprimento do vetor $ \mathbf{u} $.
Calculando o comprimento de $ \mathbf{u} $:
Então, o vetor unitário é:
Passo 5
Com o gradiente calculado e o vetor direção normalizado, podemos encontrar a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
Substituindo os valores:
Resposta
A derivada direcional de $ f(x, y) = 6x^{2}y - 7x{2}y{3} $ no ponto
na direção do vetor $ \mathbf{u} = (-3, 0) $ é
.