Para cada equação, identifique:
a) ordem, as variáveis dep., indep. e constantes, notando ambiguidades.
b) Linearidade: caso sim, se tem coeficientes constantes e se é homogênea.
c) Se não-linear: é autônoma?
Converta cada equação à forma normal (se não estiver) identificando eventuais restrições decorrentes da conversão.
(vii)
(Equações tiradas do Zill primeiro exercício)
a) ordem, as variáveis dep., indep. e constantes, notando ambiguidades.
b) Linearidade: caso sim, se tem coeficientes constantes e se é homogênea.
c) Se não-linear: é autônoma?
Converta cada equação à forma normal (se não estiver) identificando eventuais restrições decorrentes da conversão.
(vii)
(Equações tiradas do Zill primeiro exercício)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
Vamos analisar essa equação em termos de ordem, identificar as variáveis dependentes e independentes, verificar se é linear ou não-linear, e se for não-linear, ver se é autônoma. Depois, vamos converter essa equação para a forma normal.
Passo 2
a) Ordem, variáveis dependentes e independentes, constantes:
-
Ordem: A ordem da equação diferencial é o maior grau da derivada presente na equação. Aqui, a derivada é de primeira ordem (
), então a ordem é 1. -
Variáveis:
- Variável dependente: Geralmente,
é a variável dependente. - Variável independente: Geralmente,
é a variável independente.
- Variável dependente: Geralmente,
-
Constantes: Não há constantes explícitas na equação.
Ambiguidade: Não há ambiguidades claras na identificação das variáveis, já que
está sendo derivada em relação a
.
Passo 3
b) Linearidade:
Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma:
Ou seja,
e suas derivadas aparecem apenas de primeira grau e multiplicadas por funções de
.
No nosso caso:
A equação pode ser reescrita como:
Aqui, temos o termo
, que está ao quadrado, o que significa que a equação não é linear.
Passo 4
c) Se não-linear: é autônoma?
Uma equação diferencial é autônoma se não depende explicitamente da variável independente, ou seja, somente de
e suas derivadas.
No nosso caso, a equação pode ser escrita como:
Aqui, a derivada
depende tanto de
quanto de
. Portanto, a equação não é autônoma.
Passo 5
Conversão para a forma normal:
A forma normal de uma equação diferencial de primeira ordem é expressa como:
Vamos converter a nossa equação para essa forma.
Partindo de:
Isolando
:
Restrição decorrente da conversão:
Como estamos dividindo por , devemos considerar que
, pois divisão por zero não é definida.
Como estamos dividindo por
Resposta
A equação dada é de primeira ordem, com
sendo a variável dependente e
a independente. Ela não é linear devido ao termo
e não é autônoma porque depende de
. Convertida para a forma normal, temos: