Para cada equação, identifique:
a) ordem, as variáveis dep., indep. e constantes, notando ambiguidades.
b) Linearidade: caso sim, se tem coeficientes constantes e se é homogênea.
c) Se não-linear: é autônoma?
Converta cada equação à forma normal (se não estiver) identificando eventuais restrições decorrentes da conversão.
(vii) (y^2-1) d x+x d y=0
(Equações tiradas do Zill primeiro exercício)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
(y^2-1) dx + x dy = 0
Vamos analisar essa equação em termos de ordem, identificar as variáveis dependentes e independentes, verificar se é linear ou não-linear, e se for não-linear, ver se é autônoma. Depois, vamos converter essa equação para a forma normal.

Passo 2

a) Ordem, variáveis dependentes e independentes, constantes:
  • Ordem: A ordem da equação diferencial é o maior grau da derivada presente na equação. Aqui, a derivada é de primeira ordem ( dy/dx), então a ordem é 1.
  • Variáveis:
    • Variável dependente: Geralmente, y é a variável dependente.
    • Variável independente: Geralmente, x é a variável independente.
  • Constantes: Não há constantes explícitas na equação.
Ambiguidade: Não há ambiguidades claras na identificação das variáveis, já que y está sendo derivada em relação a x.

Passo 3

b) Linearidade:
Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma:
P(x) dydx + Q(x) y = R(x)
Ou seja, y e suas derivadas aparecem apenas de primeira grau e multiplicadas por funções de x.
No nosso caso:
(y^2-1) dx + x dy = 0 Rightarrow (y^2-1) + x dydx = 0
A equação pode ser reescrita como:
x dydx + (y^2 - 1) = 0
Aqui, temos o termo y^2, que está ao quadrado, o que significa que a equação não é linear.

Passo 4

c) Se não-linear: é autônoma?
Uma equação diferencial é autônoma se não depende explicitamente da variável independente, ou seja, somente de y e suas derivadas.
No nosso caso, a equação pode ser escrita como:
x dydx + y^2 - 1 = 0 Rightarrow dydx = 1 - y^2x
Aqui, a derivada dydx depende tanto de y quanto de x. Portanto, a equação não é autônoma.

Passo 5

Conversão para a forma normal:
A forma normal de uma equação diferencial de primeira ordem é expressa como:
dydx = F(x, y)
Vamos converter a nossa equação para essa forma.
Partindo de:
x dydx + y^2 - 1 = 0
Isolando dydx:
x dydx = - (y^2 - 1) Rightarrow dydx = 1 - y^2x
Restrição decorrente da conversão:
Como estamos dividindo por x, devemos considerar que x neq 0, pois divisão por zero não é definida.

Resposta

A equação dada é de primeira ordem, com y sendo a variável dependente e x a independente. Ela não é linear devido ao termo y^2 e não é autônoma porque depende de x. Convertida para a forma normal, temos:
dydx = 1 - y^2x com x neq 0

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