Uma esfera condutora de raio R flutua, submersa pela metade, num meio dielétrico líquido de permissividade \epsilon_{1}. A região acima do líquido é um gás de permissividade \epsilon_{2}. A carga total da esfera é Q . Determine o campo elétrico total em qualquer ponto da superfície e determine as densidades de carga livre, carga polarizada e carga total em toda a superfície da esfera.

Passo 1

O enunciado fala de uma esfera condutora de raio R com carga livre total Q, imersa pela metade num líquido dielétrico de permissividade \epsilon_{1} (abaixo do plano z=0) e pela outra metade num gás de permissividade \epsilon_{2} (acima do plano). Como a esfera é condutora, o potencial em toda a sua superfície é constante e o campo elétrico no interior dela é nulo. Nas superfícies em contato com cada meio teremos apenas campo normal à superfície e densidades superficiais (livre e polarizada) que dependem do meio. Vamos usar:
1. Condição de contorno para o deslocamento elétrico
D_{n}^{(\text{fora})}-D_{n}^{(\text{dentro})}=\sigma_{\text{livre}}\!,
mas dentro do condutor D_{n}^{(\text{dentro})}=0.
2. Relação \mathbf{D}=\epsilon\,\mathbf{E} e \mathbf{P}=\epsilon_{0}(\chi)\,\mathbf{E}=(\epsilon-\epsilon_{0})\,\mathbf{E}.
3. A polarização gera carga ligada na superfície do dielétrico dada por
\sigma_{\text{pol}}=-\mathbf{P}\cdot\mathbf{\hat n}\,.

Passo 2

Campo fora da esfera em cada região (acima e abaixo):
— Para um ponto da superfície que “olha” o líquido ( z<0), a normal unitária \mathbf{\hat n} aponta para fora da esfera, dentro do líquido. A condição
D_{n}^{(1)}=\sigma_{\text{livre}}
\epsilon_{1}\,E_{1\,n}=\sigma_{\text{livre}} \quad\Longrightarrow\quad E_{1\,n} =\frac{\sigma_{\text{livre}}}{\epsilon_{1}}\,.
— Para um ponto da superfície que “olha” o gás ( z>0), analogamente
\epsilon_{2}\,E_{2\,n}=\sigma_{\text{livre}} \quad\Longrightarrow\quad E_{2\,n} =\frac{\sigma_{\text{livre}}}{\epsilon_{2}}\,.
Portanto, em qualquer ponto da superfície
\boxed{ \mathbf{E}_{\text{fora}}(\mathbf r) =\begin{cases} \dfrac{\sigma_{\text{livre}}}{\epsilon_{1}}\;\mathbf{\hat n}\,,&z<0,\\[1em] \dfrac{\sigma_{\text{livre}}}{\epsilon_{2}}\;\mathbf{\hat n}\,,&z>0. \end{cases} }]

Passo 3

Densidade de carga livre na superfície da esfera:
A carga livre total é Q e reside somente na superfície do condutor. Se \sigma_{\text{livre}} for a densidade local, o balanço global é
\iint_{S}\sigma_{\text{livre}}\,dS =Q\,.
Em geral \sigma_{\text{livre}} pode variar com o ângulo polar \theta, mas não há fórmula fechada elementar sem resolver a equação de Laplace com dois meios. No entanto, podemos expressar tudo em função de \sigma_{\text{livre}}.

Passo 4

Densidade de carga polarizada (ligada) no contato com o líquido ( z<0):
No dielétrico temos
\mathbf{P}=(\epsilon_{1}-\epsilon_{0})\,\mathbf{E}_{1}\,,
e a carga ligada na superfície do dielétrico (na interface com o condutor) é
\sigma_{\text{pol}} =-\mathbf{P}\cdot\mathbf{\hat n} =-(\epsilon_{1}-\epsilon_{0})\,E_{1\,n} =-(\epsilon_{1}-\epsilon_{0})\,\frac{\sigma_{\text{livre}}}{\epsilon_{1}} =\sigma_{\text{livre}}\;\biggl(\frac{\epsilon_{0}}{\epsilon_{1}}-1\biggr).
Acima do plano ( z>0) o gás tem \chi\approx0, logo \mathbf{P}=0 e
\sigma_{\text{pol}}=0\quad(z>0).

Passo 5

Densidade total de carga em cada ponto da superfície da esfera:
A “carga total” aqui = somatório da livre (na superfície do condutor) mais a ligada (no dielétrico). Assim,
— Para z<0:
\sigma_{\text{tot}} =\sigma_{\text{livre}}+\sigma_{\text{pol}} =\sigma_{\text{livre}} +\sigma_{\text{livre}}\bigl(\tfrac{\epsilon_{0}}{\epsilon_{1}}-1\bigr) =\sigma_{\text{livre}}\;\frac{\epsilon_{0}}{\epsilon_{1}}.
— Para z>0:
\sigma_{\text{tot}} =\sigma_{\text{livre}}+0 =\sigma_{\text{livre}}.

Resposta

Em função da densidade livre \sigma_{\text{livre}} que satisfaz
\displaystyle\iint_{S}\sigma_{\text{livre}}\,dS=Q, temos:
(a) Campo elétrico total na superfície da esfera
\mathbf{E}_{\text{fora}} =\begin{cases} \dfrac{\sigma_{\text{livre}}}{\epsilon_{1}}\;\mathbf{\hat n},&z<0,\\\ \dfrac{\sigma_{\text{livre}}}{\epsilon_{2}}\;\mathbf{\hat n},&z>0. \end{cases}
(b) Densidades sobre a superfície da esfera:
\sigma_{\text{livre}}(\theta)\quad(\text{satisfaz }\iint\sigma_{\text{livre}}\,dS=Q),
\sigma_{\text{pol}}= \begin{cases} \sigma_{\text{livre}}\bigl(\frac{\epsilon_{0}}{\epsilon_{1}}-1\bigr),&z<0,\\\\ 0,&z>0, \end{cases}
\sigma_{\text{tot}}= \begin{cases} \dfrac{\epsilon_{0}}{\epsilon_{1}}\;\sigma_{\text{livre}},&z<0,\\\ \sigma_{\text{livre}},&z>0. \end{cases}

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