Uma esfera condutora de raio R flutua, submersa pela metade, num meio dielétrico líquido de permissividade \epsilon_{1}. A região acima do líquido é um gás de permissividade \epsilon_{2}. A carga total da esfera é Q . Determine o campo elétrico total em qualquer ponto da superfície e determine as densidades de carga livre, carga polarizada e carga total em toda a superfície da esfera.
Passo 1
O enunciado fala de uma esfera condutora de raio R com carga livre total Q, imersa pela metade num líquido dielétrico de permissividade \epsilon_{1} (abaixo do plano z=0) e pela outra metade num gás de permissividade \epsilon_{2} (acima do plano). Como a esfera é condutora, o potencial em toda a sua superfície é constante e o campo elétrico no interior dela é nulo. Nas superfícies em contato com cada meio teremos apenas campo normal à superfície e densidades superficiais (livre e polarizada) que dependem do meio. Vamos usar: 1. Condição de contorno para o deslocamento elétrico
mas dentro do condutor D_{n}^{(\text{dentro})}=0. 2. Relação \mathbf{D}=\epsilon\,\mathbf{E} e \mathbf{P}=\epsilon_{0}(\chi)\,\mathbf{E}=(\epsilon-\epsilon_{0})\,\mathbf{E}. 3. A polarização gera carga ligada na superfície do dielétrico dada por
Campo fora da esfera em cada região (acima e abaixo):
— Para um ponto da superfície que “olha” o líquido (z<0), a normal unitária \mathbf{\hat n} aponta para fora da esfera, dentro do líquido. A condição
Densidade de carga livre na superfície da esfera:
A carga livre total é Q e reside somente na superfície do condutor. Se \sigma_{\text{livre}} for a densidade local, o balanço global é
\iint_{S}\sigma_{\text{livre}}\,dS =Q\,.
Em geral \sigma_{\text{livre}} pode variar com o ângulo polar \theta, mas não há fórmula fechada elementar sem resolver a equação de Laplace com dois meios. No entanto, podemos expressar tudo em função de \sigma_{\text{livre}}.
Passo 4
Densidade de carga polarizada (ligada) no contato com o líquido (z<0):
No dielétrico temos
Acima do plano (z>0) o gás tem \chi\approx0, logo \mathbf{P}=0 e
\sigma_{\text{pol}}=0\quad(z>0).
Passo 5
Densidade total de carga em cada ponto da superfície da esfera:
A “carga total” aqui = somatório da livre (na superfície do condutor) mais a ligada (no dielétrico). Assim,
— Para z<0: