É dada a onda eletromagnética
\vec{B}=\hat{\imath} B_{0} \cos [\omega \sqrt{\epsilon \mu} y-\omega t]+\hat{k} B_{0} \operatorname{sen}[\omega \sqrt{\epsilon \mu} y-\omega t]
Onde \mathrm{B}_{0} é uma constante que é a amplitude do campo magnético. Encontre o vetor campo elétrico correspondente e o vetor de Poynting.

Passo 1

O enunciado dá a onda magnética
\vec{B}=\hat{\imath}\,B_{0}\cos\bigl(\omega\sqrt{\epsilon\mu}\,y-\omega t\bigr) +\hat{k}\,B_{0}\sin\bigl(\omega\sqrt{\epsilon\mu}\,y-\omega t\bigr),
que é uma onda plana circularmente polarizada viajando na direção +\hat{\jmath}. Precisamos achar o campo elétrico \vec{E} correspondente e o vetor de Poynting \vec{S}.

Passo 2

Para ondas planas em meios lineares e sem cargas, a equação de Maxwell–Faraday dá
\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \quad\Longrightarrow\quad \vec{k}\times\vec{E}=\omega\,\vec{B},
onde \vec{k}=k\,\hat{\jmath} e k=\omega\sqrt{\epsilon\mu}.

Passo 3

Da relação \vec{k}\times\vec{E}=\omega\vec{B} segue
\vec{E} =-\frac{1}{\omega\epsilon\mu}\,\vec{k}\times\vec{B} =-\frac{1}{\sqrt{\epsilon\mu}}\;\hat{\jmath}\times\vec{B}.
Usando
\hat{\jmath}\times\bigl(\hat{\imath}\cos\varphi+\hat{k}\sin\varphi\bigr) =-\hat{k}\cos\varphi+\hat{\imath}\sin\varphi, \quad\varphi=\omega\sqrt{\epsilon\mu}\,y-\omega t,
obtemos
\vec{E} =-\frac{B_{0}}{\sqrt{\epsilon\mu}}\bigl(-\hat{k}\cos\varphi+\hat{\imath}\sin\varphi\bigr) =\hat{k}\,\frac{B_{0}}{\sqrt{\epsilon\mu}}\cos\varphi -\hat{\imath}\,\frac{B_{0}}{\sqrt{\epsilon\mu}}\sin\varphi.

Passo 4

O vetor de Poynting é
\vec{S}=\vec{E}\times\vec{H}, \quad \vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu},
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\vec{S} =\frac{1}{\mu}\,\vec{E}\times\vec{B} =\frac{1}{\mu}\,\frac{B_{0}^{2}}{\sqrt{\epsilon\mu}}\;\hat{\jmath} =\frac{B_{0}^{2}}{\mu\sqrt{\epsilon\mu}}\;\hat{\jmath}.
Como E_{0}=B_{0}/\sqrt{\epsilon\mu} e a impedância do meio é \eta=\sqrt{\mu/\epsilon}, também se escreve
\vec{S}=\frac{E_{0}^{2}}{\eta}\,\hat{\jmath}.

Resposta

\vec{E} =\hat{k}\,\frac{B_{0}}{\sqrt{\epsilon\mu}}\cos\bigl(\omega\sqrt{\epsilon\mu}\,y-\omega t\bigr) -\hat{\imath}\,\frac{B_{0}}{\sqrt{\epsilon\mu}}\sin\bigl(\omega\sqrt{\epsilon\mu}\,y-\omega t\bigr),
\vec{S} =\frac{B_{0}^{2}}{\mu\sqrt{\epsilon\mu}}\;\hat{\jmath} =\frac{E_{0}^{2}}{\eta}\;\hat{\jmath}.

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