(2,0) Para uma dada, parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo x, e passando pelos pontos A=(3,2), B=(3,-6) e C=(9,6). Determine:
(0,5) A equação reduzida da curva:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de parábola juntos! A gente tem uma parábola cujo eixo de simetria está paralelo ao eixo x e que passa pelos pontos A=(3,2), B=(3,-6) e C=(9,6). Nosso objetivo é encontrar a equação reduzida dessa parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o formato da equação de uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo x. A equação geral nesse caso é:
y = a(x - h)^2 + k
Aqui, (h, k) é o vértice da parábola e a determina a abertura e a direção da parábola.

Passo 3

Observando os pontos A=(3,2) e B=(3,-6), vemos que eles têm a mesma coordenada x. Isso indica que esses pontos estão simétricos em relação ao vértice da parábola. Vamos encontrar o vértice (h, k).
A coordenada x do vértice, h, é igual a 3 (já que os pontos A e B são simétricos em relação a x=3).
Para encontrar k, calculamos a média das coordenadas y de A e B:
k = 2 + (-6)2 = -42 = -2
Então, o vértice é (3, -2).

Passo 4

Agora que temos o vértice, a equação da parábola fica:
y = a(x - 3)^2 - 2
Precisamos determinar o valor de a. Para isso, vamos usar o ponto C=(9,6) que está na parábola.

Passo 5

Substituímos as coordenadas de C na equação:
6 = a(9 - 3)^2 - 2
Simplificando:
6 = a(6)^2 - 2 6 = 36a - 2 6 + 2 = 36a 8 = 36a a = 836 = 29

Passo 6

Agora que encontramos a = 29, substituímos de volta na equação da parábola:
y = 29(x - 3)^2 - 2

Resposta

A equação reduzida da parábola é:
y = 29(x - 3)^2 - 2

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