Se possível, determine o(s) valor(es) extremo(s) da função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar os valores extremos (os máximos e mínimos) da função
. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo multivariável. O que isso significa? Basicamente, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
, encontrar os pontos onde essas derivadas são zero (pontos críticos) e então verificar se esses pontos correspondem a máximos, mínimos ou pontos de sela. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
, denotada por
, é:
Simplificando:
A derivada parcial de
em relação a
, denotada por
, é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de
e
que satisfazem
e
.
Temos o sistema de equações:
Vamos resolver a segunda equação primeiro:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Isso resulta em:
Vamos resolver
:
Resolvendo a equação quadrática:
Então:
Agora, encontramos três pontos críticos:
- Quando
:
Ponto crítico:
- Quando
:
Ponto crítico:
- Quando
:
Ponto crítico:
Passo 4
Vamos agora determinar a natureza desses pontos críticos usando o teste da segunda derivada.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
O discriminante
é dado por:
Vamos calcular
para cada ponto crítico:
- Ponto
:
Como
e
, esse ponto é um mínimo local.
- Ponto
:
Como
, esse ponto é um ponto de sela (não é nem máximo nem mínimo).
- Ponto
:
Como
, esse ponto também é um ponto de sela.
Resposta
A função
possui um único valor extremo:
- Mínimo local no ponto
.
Os outros pontos críticos
e
são pontos de sela e, portanto, não são valores extremos.