Se possível, determine o(s) valor(es) extremo(s) da função f(x, y)=3 y^2+x^3-3 x^2(y-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar os valores extremos (os máximos e mínimos) da função . Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo multivariável. O que isso significa? Basicamente, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e , encontrar os pontos onde essas derivadas são zero (pontos críticos) e então verificar se esses pontos correspondem a máximos, mínimos ou pontos de sela. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função fx = partial fpartial x = 3x^2 - 6x(y - 1) em relação a fx = 3x^2 - 6xy + 6x e fy = partial fpartial y = 6y - 3x^2 .
A derivada parcial de em relação a , denotada por , é:
Simplificando:
A derivada parcial de em relação a , denotada por , é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de 3x^2 - 6xy + 6x = 0 6y - 3x^2 = 0 e 6y - 3x^2 = 0 Rightarrow y = x^22 que satisfazem 3x^2 - 6x(x^22) + 6x = 0 3x^2 - 3x^3 + 6x = 0 x(3x - 3x^2 + 6) = 0 e x = 0 ou 3x - 3x^2 + 6 = 0 .
Temos o sistema de equações:
-3x^2 + 3x + 6 = 0 Mu
Vamos resolver a segunda equação primeiro:
x = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Agora, substituímos x = 2 ou x = -1 na primeira equação:
y = 0^22 = 0
Isso resulta em:
y = 2^22 = 2
Vamos resolver y = (-1)^22 = 12 :
Resolvendo a equação quadrática:
Então:
Agora, encontramos três pontos críticos:
  1. Quando :
Ponto crítico:
  1. Quando :
Ponto crítico:
  1. Quando :
Ponto crítico:

Passo 4

Vamos agora determinar a natureza desses pontos críticos usando o teste da segunda derivada.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6x - 6y + 6
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 6
O discriminante fxy = partial^2 fpartial x partial y = -6x é dado por:
D = fxx fyy - (fxy)^2
Vamos calcular fxx = 6(0) - 6(0) + 6 = 6 fyy = 6 fxy = -6(0) = 0 D = 6 times 6 - 0^2 = 36 > 0 para cada ponto crítico:
  1. Ponto fxx = 6(2) - 6(2) + 6 = 12 - 12 + 6 = 6 fyy = 6 fxy = -6(2) = -12 D = 6 times 6 - (-12)^2 = 36 - 144 = -108 < 0 :
fxx = 6(-1) - 6(12) + 6 = -6 - 3 + 6 = -3 fyy = 6 fxy = -6(-1) = 6 D = (-3) times 6 - 6^2 = -18 - 36 = -54 < 0
Como e , esse ponto é um mínimo local.
  1. Ponto :
Como , esse ponto é um ponto de sela (não é nem máximo nem mínimo).
  1. Ponto :
Como , esse ponto também é um ponto de sela.

Resposta

A função possui um único valor extremo:
  • Mínimo local no ponto .
Os outros pontos críticos e são pontos de sela e, portanto, não são valores extremos.

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