Ao estudar o Cálculo Diferencial, descobrimos que existem algumas funções que são infinitamente deriváveis em todos os pontos de seu domínio. Um exemplo disso é a função exponencial, que possui diferenciação de ordem superior infinita. Acerca das derivadas da função exponencial
, analise as sentenças a seguir:
I. A derivada primeira é
.
II. A derivada primeira é
.
III. A derivada segunda é
.
IV. A derivada segunda é
.
V. A derivada terceira é
.
Assinale a alternativa CORRETA:
A. ( ) As sentenças II e IV estão corretas.
B. ( ) As sentenças I e IV estão corretas.
C. ( ) As sentenças I, III e V estão corretas.
D. ( ) As sentenças IV e
estão corretas.
I. A derivada primeira é
II. A derivada primeira é
III. A derivada segunda é
IV. A derivada segunda é
V. A derivada terceira é
Assinale a alternativa CORRETA:
A. ( ) As sentenças II e IV estão corretas.
B. ( ) As sentenças I e IV estão corretas.
C. ( ) As sentenças I, III e V estão corretas.
D. ( ) As sentenças IV e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre as derivadas da função exponencial
. Nosso objetivo é verificar quais das cinco afirmações sobre as derivadas dessa função estão corretas. Para isso, vamos precisar usar a regra de derivação de funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. Lembrando que a derivada de
em relação a
é
. No nosso caso,
.
Então, a primeira derivada é:
Portanto, a afirmação I está correta.
Passo 3
Agora, vamos verificar a afirmação II, que diz que a primeira derivada é
. Conforme acabamos de calcular:
Então, a afirmação II está errada.
Passo 4
Seguimos para a segunda derivada. Já sabemos que:
Vamos derivar novamente:
Assim, a afirmação III está correta.
Passo 5
A afirmação IV diz que a segunda derivada é
. Mas acabamos de ver que:
Portanto, a afirmação IV está errada.
Passo 6
Por fim, vamos para a terceira derivada. Sabemos que:
Derivando novamente:
Então, a afirmação V está correta.
Resposta
A alternativa C. As sentenças I, III e V estão corretas é a correta.