Ao estudar o Cálculo Diferencial, descobrimos que existem algumas funções que são infinitamente deriváveis em todos os pontos de seu domínio. Um exemplo disso é a função exponencial, que possui diferenciação de ordem superior infinita. Acerca das derivadas da função exponencial f(x)=-e^-2x, analise as sentenças a seguir:
I. A derivada primeira é 2 e^-2x.
II. A derivada primeira é -2 e^-2x.
III. A derivada segunda é -4 e^-2x.
IV. A derivada segunda é 6 e^-2x.
V. A derivada terceira é 8 e^-2x.
Assinale a alternativa CORRETA:
A. ( ) As sentenças II e IV estão corretas.
B. ( ) As sentenças I e IV estão corretas.
C. ( ) As sentenças I, III e V estão corretas.
D. ( ) As sentenças IV e V estão corretas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre as derivadas da função exponencial . Nosso objetivo é verificar quais das cinco afirmações sobre as derivadas dessa função estão corretas. Para isso, vamos precisar usar a regra de derivação de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de f'(x) = ddx [-e^-2x] = -(-2) e^-2x = 2 e^-2x . Lembrando que a derivada de em relação a é . No nosso caso, .
Então, a primeira derivada é:
Portanto, a afirmação I está correta.

Passo 3

Agora, vamos verificar a afirmação II, que diz que a primeira derivada é f'(x) = 2 e^-2x . Conforme acabamos de calcular:
Então, a afirmação II está errada.

Passo 4

Seguimos para a segunda derivada. Já sabemos que:
f'(x) = 2 e^-2x
Vamos derivar novamente:
f''(x) = ddx [2 e^-2x] = 2 cdot (-2) e^-2x = -4 e^-2x
Assim, a afirmação III está correta.

Passo 5

A afirmação IV diz que a segunda derivada é f''(x) = -4 e^-2x . Mas acabamos de ver que:
Portanto, a afirmação IV está errada.

Passo 6

Por fim, vamos para a terceira derivada. Sabemos que:
f''(x) = -4 e^-2x
Derivando novamente:
f'''(x) = ddx [-4 e^-2x] = -4 cdot (-2) e^-2x = 8 e^-2x
Então, a afirmação V está correta.

Resposta

A alternativa C. As sentenças I, III e V estão corretas é a correta.

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