Dada uma parametrização qualquer \theta:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^{3}. Mostre que existe uma re-parametrização para \theta definida no intervalo [0,1]. Como aplicação deste exercício re-parametrize o circulo de raio 1 usando uma parametrização definida em [0,1].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dada uma parametrização qualquer \theta:[a,b]\to\mathbb{R}^3, existe uma re-parametrização definida em [0,1].
O conteúdo principal é a composição de \theta com uma função afim que leva [0,1] em [a,b].
Em seguida, vamos aplicar esse resultado ao círculo de raio 1.

Passo 2

Definimos a transformação linear afim
L:[0,1]\to[a,b],\qquad L(u)=a+(b-a)\,u.
Essa função L é bijetora (inversa L^{-1}(t)=(t-a)/(b-a)), contínua e diferenciável, e satisfaz L(0)=a, L(1)=b.

Passo 3

Compondo \theta com L, obtemos a re-parametrização
\varphi:[0,1]\to\mathbb{R}^3,\qquad \varphi(u)=\theta\bigl(L(u)\bigr)=\theta\bigl(a+(b-a)\,u\bigr).
Logo, \varphi percorre exatamente a mesma curva que \theta e tem domínio [0,1].

Passo 4

Verificamos que \varphi mantém regularidade, continuidade ou diferenciabilidade sempre que \theta as tiver, pois é composição de funções suaves. Também \varphi(0)=\theta(a) e \varphi(1)=\theta(b), cobrindo o mesmo intervalo de parâmetros.

Passo 5

Aplicação ao círculo de raio 1. A parametrização usual em [0,2\pi] é
\theta(t) = \bigl(\cos t,\;\sin t,\;0\bigr),\quad t\in[0,2\pi].
Usando a função afim L(u)=0+(2\pi-0)\,u=2\pi u, definimos
\varphi(u)=\theta\bigl(2\pi u\bigr)=\bigl(\cos(2\pi u),\;\sin(2\pi u),\;0\bigr), \qquad u\in[0,1].

Resposta

A re-parametrização geral é
\varphi(u)=\theta\bigl(a+(b-a)\,u\bigr),\quad u\in[0,1].
Para o círculo de raio 1,
\varphi(u)=\bigl(\cos(2\pi u),\;\sin(2\pi u),\;0\bigr),\quad u\in[0,1].

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