Dada uma parametrização qualquer
. Mostre que existe uma re-parametrização para
definida no intervalo
. Como aplicação deste exercício re-parametrize o circulo de raio 1 usando uma parametrização definida em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dada uma parametrização qualquer
, existe uma re-parametrização definida em
.
O conteúdo principal é a composição de com uma função afim que leva
em
.
Em seguida, vamos aplicar esse resultado ao círculo de raio .
O conteúdo principal é a composição de
Em seguida, vamos aplicar esse resultado ao círculo de raio
Passo 2
Definimos a transformação linear afim
Essa função
é bijetora (inversa
), contínua e diferenciável, e satisfaz
,
.
Passo 3
Compondo
com
, obtemos a re-parametrização
Logo,
percorre exatamente a mesma curva que
e tem domínio
.
Passo 4
Verificamos que
mantém regularidade, continuidade ou diferenciabilidade sempre que
as tiver, pois é composição de funções suaves. Também
e
, cobrindo o mesmo intervalo de parâmetros.
Passo 5
Aplicação ao círculo de raio
. A parametrização usual em
é
Usando a função afim
, definimos
Resposta
A re-parametrização geral é
Para o círculo de raio
,