Seja \theta uma curva de classe C^{1} com ponto inicial A=\theta(a) e final B=\theta(b). Seja o segmento de reta r(t)=A+t(B-A) ; t \in[0,1]. Verifique que L(r) \leq L(\theta).

Passo 1

O enunciado pede para comparar o comprimento de dois caminhos em \mathbb{R}^n:
\theta\colon [a,b]\to\mathbb{R}^n é de classe C^1 e une A=\theta(a) a B=\theta(b).
r\colon[0,1]\to\mathbb{R}^n é o segmento de reta definido por
r(t)=A+t\,(B-A).
O conteúdo aqui é o cálculo de comprimento de curvas e a desigualdade que diz que o caminho mais curto entre dois pontos é a reta.

Passo 2

Calcular L(r) pela definição de comprimento de curva. Por definição,
L(r)=\int_{0}^{1}\bigl\lVert r'(t)\bigr\rVert\,dt.

Passo 3

Derivando r(t) em relação a t obtemos
r'(t)=B-A,
que é constante. Logo
\bigl\lVert r'(t)\bigr\rVert=\lVert B-A\rVert \quad\text{para todo }t\in[0,1].
Substituindo em L(r), vem
L(r)=\int_{0}^{1}\lVert B-A\rVert\,dt =\lVert B-A\rVert\int_{0}^{1}dt =\lVert B-A\rVert.

Passo 4

Agora relacionamos \lVert B-A\rVert com o comprimento de \theta. Note que
\theta(b)-\theta(a) =\int_{a}^{b}\theta'(t)\,dt =B-A.
Aplicando a desigualdade triangular para integrais no lado esquerdo, temos
\bigl\lVert B-A\bigr\rVert =\biggl\lVert\int_{a}^{b}\theta'(t)\,dt\biggr\rVert \le \int_{a}^{b}\bigl\lVert \theta'(t)\bigr\rVert\,dt.

Passo 5

Mas a definição de comprimento de \theta é
L(\theta)=\int_{a}^{b}\bigl\lVert \theta'(t)\bigr\rVert\,dt.
Portanto
\lVert B-A\rVert \le L(\theta).

Resposta

L(r)=\lVert B-A\rVert \le L(\theta).

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