Seja \theta uma curva de classe C^{1} com ponto inicial A=\theta(a) e final B=\theta(b). Seja o segmento de reta r(t)=A+t(B-A) ; t \in[0,1]. Verifique que L(r) \leq L(\theta).
Passo 1
O enunciado pede para comparar o comprimento de dois caminhos em \mathbb{R}^n:
– \theta\colon [a,b]\to\mathbb{R}^n é de classe C^1 e une A=\theta(a) a B=\theta(b).
– r\colon[0,1]\to\mathbb{R}^n é o segmento de reta definido por
r(t)=A+t\,(B-A).
O conteúdo aqui é o cálculo de comprimento de curvas e a desigualdade que diz que o caminho mais curto entre dois pontos é a reta.
Passo 2
Calcular L(r) pela definição de comprimento de curva. Por definição,