Uma dada partícula é descrita pela função de onda
Onde psi(x)= c e^x / L & x <= 0 mm c e^-x / L & x >= 0 mm
Calcule a probabilidade de encontrar a partícula a uma distância máxima da origem de L=2,0 mm.

Passo 1

Então, o enunciado diz que a partícula tem função de onda
psi(x)= c,e^x/L, & x<=0, c,e^-x/L, & x>=0,
com L=2,0 mm.
Isso é matéria de mecânica quântica básica: a gente precisa primeiro normalizar a função de onda (achar c) e depois calcular a probabilidade
P(|x|<=1,0 mm) ;=; integral-1^1|psi(x)|^2,dx
Para isso vamos usar integrais de exponenciais e a noção de densidade de probabilidade |psi|^2.

Passo 2

Normalização: exigimos
integral-infty^infty|psi(x)|^2,dx = 1
Como psi(x) é real,
|psi(x)|^2 = c^2,e^2x/L, & x<=0, c^2,e^-2x/L, & x>=0
Então quebramos a integral em duas:
integral-infty^0c^2 e^2x/Ldx ;+;integral0^inftyc^2 e^-2x/Ldx = 1
Cada uma dá
integral-infty^0e^2x/Ldx = [L2e^2x/L]-infty^0 = L2,
e
integral0^inftye^-2x/Ldx = [-L2e^-2x/L]0^infty = L2
Logo
c^2(tfracL2+tfracL2)=c^2,L =1 Longrightarrow c = 1raizL

Passo 3

Agora a probabilidade de estar entre x=-1,0,mm e x=+1,0,mm é
P = integral-1^1|psi(x)|^2,dx =integral-1^0c^2 e^2x/Ldx ;+;integral0^1c^2 e^-2x/Ldx
Substituindo c^2=1/L e fazendo as integrais:
  1. Para xin[-1,0]:
integral-1^0!e^2x/Ldx = [L2e^2x/L]-1^0 = L2l(1 - e^-2/Lr)
  1. Para xin[0,1]:
integral0^1!e^-2x/Ldx = [-L2e^-2x/L]0^1 = L2l(1 - e^-2/Lr)
Some os dois pedaços e multiplica por c^2=1/L:
P = 1L;l[L2(1-e^-2/L)+L2(1-e^-2/L)r] = 1L;L,(1-e^-2/L) = 1 - e^-2/L

Passo 4

Basta agora colocar L=2,0,mm:
2L=22,0=1 Longrightarrow P = 1 - e^-1approx 1 - 0,3679 = 0,6321

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula a até 1,0 mm da origem é
P = 1 - e^-1 approx 0,632(ou 63,2%)

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