A função de onda normalizada de uma partícula é:
psi(x)=e^-|x| mid x0 / raizx0
Encontre o valor esperado da posição lang<= xrang<= elang<= x^2rang<=

Passo 1

Então, o exercício nos dá uma função de onda “já normalizada”
psi(x)=e^-|x|,x0/raizx0
e pede para calcularmos os valores esperados
lang<= xrang<==integral-infty^infty x,|psi(x)|^2,dx, lang<= x^2rang<==integral-infty^infty x^2,|psi(x)|^2,dx e .
Isso faz parte de Mecânica Quântica, em que a gente usa as fórmulas

Para resolver, vamos:
1) Verificar simetrias pra .
2) Calcular o integral de usando a simetria e a fórmula
.

Passo 2

Primeiro, note que
|psi(x)|^2 = e^-2,|x|,(x0/raizx0) =e^-2,a,|x|, em que definimos a=x0raizx0=raizx0
Para , o integrando é .
Como é função par e é função ímpar, o produto é ímpar.
Integral de uma função ímpar em dá zero.

Passo 3

Logo
lang<= xrang<= =integral-infty^infty x,e^-2a|x|,dx =0

Passo 4

Agora lang<= x^2rang<= =integral-infty^inftyx^2 e^-2a|x|,dx =2integral0^inftyx^2 e^-2a x,dx . A função integral0^inftyx^2 e^-2a x,dx =2(2a)^3 =28a^3 =14a^3 é par, então
lang<= x^2rang<= =2cdot14a^3 =12a^3
Usamos a fórmula
.
Aqui , então
Multiplicando por 2 do passo anterior:

Passo 5

Só falta voltar no que é a=raizx0 Rightarrow a^3=(raizx0)^3=x0^3/2 :
lang<= x^2rang<==12,x0^3/2
Então

Resposta

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