Dada uma pirâmide de base hexagonal com arestas medindo 2 cm e altura igual a 6 cm . Determine:
a) a área da base
b) A planificação da pirâmide
a) a área da base
b) A planificação da pirâmide
Passo 1
O enunciado diz: “Pirâmide de base hexagonal com arestas medindo
e altura igual a
. Determine: (a) a área da base; (b) a planificação da pirâmide.”\n
Informações dadas (listando tudo que vamos usar):
Informações dadas (listando tudo que vamos usar):
- A base é um hexágono regular com lado
. (Interpretei "arestas medindo " como arestas da base: se fossem arestas laterais a pirâmide não poderia ter altura .) - A altura da pirâmide (distância do vértice ao centro da base) é
. - Pedidos:
- Calcular a área da base.
- Apresentar a planificação (net) da pirâmide, ou seja, descrever as faces planas com suas dimensões (base hexagonal + seis triângulos laterais) e dados importantes para desenhar a net.
Passo 2
Vamos achar a área da base: um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros congruentes de lado
. A área de um triângulo equilátero de lado
é
Explicando a fórmula: essa é a fórmula padrão; ela vem da decomposição do triângulo equilátero em dois triângulos retângulos e aplicação do teorema de Pitágoras para a altura. Aqui
é a medida do lado do triângulo (aqui, o lado do hexágono).
Passo 3
Como o hexágono tem 6 desses triângulos, a área da base é
Agora substituímos
. Calculando passo a passo:
Passo 4
Para a planificação precisamos das figuras laterais: a pirâmide terá 6 triângulos isósceles congruentes como faces laterais, cada um com base igual ao lado do hexágono
. Precisamos da altura desses triângulos (slant height) ou dos comprimentos dos lados iguais para desenhar corretamente.
Definições e ideias usadas:
- O apótema (inradius) do hexágono regular, que é a distância do centro do hexágono até o ponto médio de um lado, é a componente horizontal que forma um triângulo retângulo com a altura da pirâmide e a geratriz (slant height) da face lateral.
- Para um hexágono regular construído por 6 triângulos equiláteros, o apótema
é a altura de cada triângulo equilátero, ou seja:
Substituindo
:
Passo 5
Calcular a geratriz (slant height)
da face lateral: é a hipotenusa do triângulo retângulo formado por
(altura da pirâmide) e
(apotema). Pelo teorema de Pitágoras:
Esse
é a distância do vértice da pirâmide até o ponto médio de um lado da base; é a altura do triângulo isósceles lateral.
Passo 6
Calcular o comprimento das arestas laterais (arestas do vértice até os vértices da base), pois isso também aparece no triângulo lateral (são os lados iguais do triângulo isósceles):
- A distância do centro do hexágono até um vértice (circunrádio
) para hexágono regular é igual ao lado:
- A aresta lateral
é a hipotenusa do triângulo retângulo formado por e :
Logo cada face lateral é um triângulo isósceles com base
, altura
e lados iguais
.
Passo 7
Calcular a área de uma face lateral (um dos triângulos) usando a fórmula da área do triângulo com base e altura:
Como são 6 faces laterais congruentes, a área lateral total é
Passo 8
Descrito o que é a planificação (net): a planificação consiste em um hexágono regular de lado
(a base) com 6 triângulos isósceles congruentes presos a cada lado do hexágono. Cada triângulo lateral tem:
- base
, - altura (geratriz)
, - lados iguais
.
Se for necessário desenhar: desenhe primeiro o hexágono regular de lado; em cada lado cole um triângulo isósceles com base na aresta do hexágono e altura .
Resposta
a)
\n
b) Planificação: um hexágono regular de lado (base) com 6 triângulos isósceles congruentes encaixados nos lados; cada triângulo lateral tem base
, altura
e lados iguais
. A área lateral total é
.
b) Planificação: um hexágono regular de lado