Dada uma pirâmide de base hexagonal com arestas medindo 2 cm e altura igual a 6 cm . Determine:
a) a área da base
b) A planificação da pirâmide

Passo 1

O enunciado diz: “Pirâmide de base hexagonal com arestas medindo 2\\ \text{cm} e altura igual a 6\\ \text{cm}. Determine: (a) a área da base; (b) a planificação da pirâmide.”\n
Informações dadas (listando tudo que vamos usar):
  • A base é um hexágono regular com lado a=2\\ \text{cm}. (Interpretei "arestas medindo 2\\ \text{cm}" como arestas da base: se fossem arestas laterais a pirâmide não poderia ter altura 6\\ \text{cm}.)
  • A altura da pirâmide (distância do vértice ao centro da base) é h=6\\ \text{cm}.
  • Pedidos:
    1. Calcular a área da base.
    2. Apresentar a planificação (net) da pirâmide, ou seja, descrever as faces planas com suas dimensões (base hexagonal + seis triângulos laterais) e dados importantes para desenhar a net.

Passo 2

Vamos achar a área da base: um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros congruentes de lado a. A área de um triângulo equilátero de lado a é
\text{Área do triângulo} = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^{2}.Áâ
Explicando a fórmula: essa é a fórmula padrão; ela vem da decomposição do triângulo equilátero em dois triângulos retângulos e aplicação do teorema de Pitágoras para a altura. Aqui a é a medida do lado do triângulo (aqui, o lado do hexágono).

Passo 3

Como o hexágono tem 6 desses triângulos, a área da base é
A_{\text{base}} = 6\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\,a^{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^{2}.
Agora substituímos a=2\\ \text{cm}. Calculando passo a passo:
a^{2} = 2^{2} = 4,
A_{\text{base}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 4 = 3\sqrt{3}\cdot 2 = 6\sqrt{3}\\ (\text{cm}^{2}).

Passo 4

Para a planificação precisamos das figuras laterais: a pirâmide terá 6 triângulos isósceles congruentes como faces laterais, cada um com base igual ao lado do hexágono a=2\\ \text{cm}. Precisamos da altura desses triângulos (slant height) ou dos comprimentos dos lados iguais para desenhar corretamente.
Definições e ideias usadas:
  • O apótema (inradius) do hexágono regular, que é a distância do centro do hexágono até o ponto médio de um lado, é a componente horizontal que forma um triângulo retângulo com a altura da pirâmide e a geratriz (slant height) da face lateral.
  • Para um hexágono regular construído por 6 triângulos equiláteros, o apótema r é a altura de cada triângulo equilátero, ou seja:
r = \frac{\sqrt{3}}{2}\,a.
Substituindo a=2:
r = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2 = \sqrt{3}\\ \text{cm}.

Passo 5

Calcular a geratriz (slant height) l da face lateral: é a hipotenusa do triângulo retângulo formado por h (altura da pirâmide) e r (apotema). Pelo teorema de Pitágoras:
l = \sqrt{h^{2} + r^{2}} = \sqrt{6^{2} + (\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{36 + 3} = \sqrt{39}\\ \text{cm}.
Esse l é a distância do vértice da pirâmide até o ponto médio de um lado da base; é a altura do triângulo isósceles lateral.

Passo 6

Calcular o comprimento das arestas laterais (arestas do vértice até os vértices da base), pois isso também aparece no triângulo lateral (são os lados iguais do triângulo isósceles):
  • A distância do centro do hexágono até um vértice (circunrádio R) para hexágono regular é igual ao lado:
R = a = 2\\ \text{cm}.
  • A aresta lateral s é a hipotenusa do triângulo retângulo formado por h e R:
s = \sqrt{h^{2} + R^{2}} = \sqrt{6^{2} + 2^{2}} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\\ \text{cm}.
Logo cada face lateral é um triângulo isósceles com base 2\\ \text{cm}, altura l=\sqrt{39}\\ \text{cm} e lados iguais 2\sqrt{10}\\ \text{cm}.

Passo 7

Calcular a área de uma face lateral (um dos triângulos) usando a fórmula da área do triângulo com base e altura:
\text{Área}_{\text{tri lateral}} = \frac{1}{2}\cdot (\text{base})\cdot (\text{altura}) = \frac{1}{2}\cdot 2\cdot \sqrt{39} = \sqrt{39}\\ (\text{cm}^{2}).Á
Como são 6 faces laterais congruentes, a área lateral total é
A_{\text{lateral}} = 6\cdot \sqrt{39}\\ (\text{cm}^{2}).

Passo 8

Descrito o que é a planificação (net): a planificação consiste em um hexágono regular de lado 2\\ \text{cm} (a base) com 6 triângulos isósceles congruentes presos a cada lado do hexágono. Cada triângulo lateral tem:
  • base =2\\ \text{cm},
  • altura (geratriz) = \sqrt{39}\\ \text{cm},
  • lados iguais = 2\sqrt{10}\\ \text{cm}.
    Se for necessário desenhar: desenhe primeiro o hexágono regular de lado 2\\ \text{cm}; em cada lado cole um triângulo isósceles com base na aresta do hexágono e altura \sqrt{39}\\ \text{cm}.

Resposta

a) \,6\sqrt{3}\\ \text{cm}^{2}\n
b) Planificação: um hexágono regular de lado 2\\ \text{cm} (base) com 6 triângulos isósceles congruentes encaixados nos lados; cada triângulo lateral tem base 2\\ \text{cm}, altura \sqrt{39}\\ \text{cm} e lados iguais 2\sqrt{10}\\ \text{cm}. A área lateral total é 6\sqrt{39}\\ \text{cm}^{2}.

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