(EXTRA - 1,0) (Teorema do Valor Intermediário): Suponha que
é uma função contínua no intervalo fechado
. Se yo é um valor entre
e
, então existe pelo menos um
tal que
.
Suponha que
sejá contínua e que as únicas soluções da equação
são
e
. Se
explique usando o, teorema acima porque
.
Passo 1
Dados do enunciado que precisamos usar:
-
é contínua em . - As únicas soluções da equação
são e . -
. - O que nos pedem: explicar, usando o Teorema do Valor Intermediário, por que
.
Passo 2
Lembrete claro do Teorema do Valor Intermediário (TVI) e como aplicá‑lo: se uma função
é contínua num intervalo fechado
e
é um valor que fica entre
e
(isto é, entre em sentido numérico, por exemplo
ou
), então existe pelo menos um
tal que
. Aqui “entre” significa que
está no segmento fechado de números com extremos
e
.
No nosso caso podemos aplicar o TVI em qualquer subintervalo de
porque
é contínua em todo
. Em particular é contínua no intervalo
.
Passo 3
Prova por contradição (estratégia padrão para afirmar desigualdade estrita com informações de unicidade de raízes):
- Suponha, para obter contradição, que
. - Temos
e, pela hipótese de contradição, . Assim o número está entre e (mais precisamente ). - Como
é contínua em , o TVI garante que existe algum tal que . - Esse
pertence ao intervalo , portanto e . Mas isso contradiz a informação dada de que as únicas soluções da equação são e . - Logo a suposição
é impossível. Portanto necessariamente .
Observação rápida: o caso
já seria imediata contradição com a unicidade das soluções, e o caso
é tratado pelo TVI exatamente como acima — ambos levam à contradição, por isso concluímos
.
Passo 4
Conclusão final e pequeno incentivo: a ideia chave foi combinar continuidade (que permite aplicar o TVI em
) com a informação de que
só ocorre em
e
. Essa combinação impede que em qualquer outro ponto, como
, a função atinja ou ultrapasse o valor
. Vai dar certo na prova — você pegou o raciocínio essencial!