(EXTRA - 1,0) (Teorema do Valor Intermediário): Suponha que f é uma função contínua no intervalo fechado [a, b]. Se yo é um valor entre f(a) e f(b), então existe pelo menos um x_{0} \in[a, b] tal que f\left(x_{0}\right)=y_{0}.
Suponha que f:[0,5] \rightarrow \mathbb{R} sejá contínua e que as únicas soluções da equação f(x)=6 são x \neq 1 e x=4. Se f(2)=4 explique usando o, teorema acima porque f(3)<6.

Passo 1

Dados do enunciado que precisamos usar:
  • f:[0,5]\to\mathbb{R} é contínua em [0,5].
  • As únicas soluções da equação f(x)=6 são x=1 e x=4.
  • f(2)=4.
  • O que nos pedem: explicar, usando o Teorema do Valor Intermediário, por que f(3)<6.

Passo 2

Lembrete claro do Teorema do Valor Intermediário (TVI) e como aplicá‑lo: se uma função f é contínua num intervalo fechado [u,v] e y_0 é um valor que fica entre f(u) e f(v) (isto é, entre em sentido numérico, por exemplo f(u)\le y_0\le f(v) ou f(v)\le y_0\le f(u)), então existe pelo menos um c\in[u,v] tal que f\text{(c)}=y_0. Aqui “entre” significa que y_0 está no segmento fechado de números com extremos f(u) e f(v).
No nosso caso podemos aplicar o TVI em qualquer subintervalo de [0,5] porque f é contínua em todo [0,5]. Em particular é contínua no intervalo [2,3].

Passo 3

Prova por contradição (estratégia padrão para afirmar desigualdade estrita com informações de unicidade de raízes):
  • Suponha, para obter contradição, que f(3)\ge 6.
  • Temos f(2)=4 e, pela hipótese de contradição, f(3)\ge 6. Assim o número 6 está entre f(2) e f(3) (mais precisamente f(2)=4\le 6\le f(3)).
  • Como f é contínua em [2,3], o TVI garante que existe algum c\in[2,3] tal que f\text{(c)}=6.
  • Esse c pertence ao intervalo [2,3], portanto c\neq 1 e c\neq 4. Mas isso contradiz a informação dada de que as únicas soluções da equação f(x)=6 são x=1 e x=4.
  • Logo a suposição f(3)\ge 6 é impossível. Portanto necessariamente f(3)<6.
Observação rápida: o caso f(3)=6 já seria imediata contradição com a unicidade das soluções, e o caso f(3)>6 é tratado pelo TVI exatamente como acima — ambos levam à contradição, por isso concluímos f(3)<6.

Passo 4

Conclusão final e pequeno incentivo: a ideia chave foi combinar continuidade (que permite aplicar o TVI em [2,3]) com a informação de que 6 só ocorre em x=1 e x=4. Essa combinação impede que em qualquer outro ponto, como x=3, a função atinja ou ultrapasse o valor 6. Vai dar certo na prova — você pegou o raciocínio essencial!

Resposta

f(3)<6

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