Construa um cubo com a aresta da base medindo 4 , em seguida planifique-o:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) construir um cubo cuja aresta da base mede
e (2) em seguida planificá‑lo (ou seja, desenhar uma planificação — a “rede” plana — do cubo).
Informações dadas: a aresta do cubo é (vou assumir unidades homogêneas, por exemplo
). Não há mais dados; com isso conseguimos fazer o cubo e qualquer planificação válida.
Informações dadas: a aresta do cubo é
Passo 2
O que precisamos lembrar sobre um cubo (agora uma mini-aula rápida e clara).
- Um cubo tem
faces idênticas; cada face é um quadrado. - Todas as arestas têm o mesmo comprimento; aqui cada aresta mede
. - Cada face (quadrado) tem lado
, então a planificação será composta por seis quadrados de lado . - Na planificação, quadrados que são adjacentes no cubo devem estar colados por arestas correspondentes no desenho plano. O objetivo é arranjar seis quadrados de modo que, ao dobrar pelas arestas comuns, as faces se encontrem formando o cubo.
Passo 3
Construção do cubo em desenho (projeção oblíqua simples — passo a passo para fazer à mão sem usar cálculo vetorial). Materiais: régua, lápis, esquadro (se tiver), borracha. Vou usar
como medida prática do lado.
- Desenhe o quadrado da base
: marque , depois trace medindo , em seguida , etc., fechando o quadrado. Use a régua para garantir cada lado . - Escolha uma direção oblíqua para representar a profundidade (por exemplo: para cima e para a direita, com uma inclinação moderada). Com a régua e o esquadro, a partir de cada vértice
trace um segmento na mesma direção e com a mesma medida . Esses segmentos representam as arestas verticais do cubo na projeção. Marque os pontos finais desses segmentos como respectivamente. Note: mesmo na projeção, o comprimento no papel será para conservar escala. - Una
para formar o quadrado superior (topo). Use a régua: junte com , com , etc. Agora você tem a representação em 3D do cubo: arestas e as faces desenhadas.
Dica: se preferir construir um cubo físico, recorte seis quadrados, cole pelo encaixe das arestas conforme a planificação que vou descrever.
Passo 4
Conceito de planificação (o que é e como verificar se o desenho plano fecha o cubo).
- Uma planificação é um conjunto de seis quadrados lado
dispostos de forma que cada quadrado esteja ligado por arestas às faces às quais deveria ser adjacente no cubo. - Para verificar: conte arestas; cada aresta do cubo corresponde a uma borda onde dois quadrados da planificação se encontram. Ao dobrar ao longo de todas as arestas internas da planificação, cada quadrado deve encontrar os vizinhos corretos e não deve haver sobreposição incorreta.
Passo 5
Desenho prático de uma planificação válida (passo a passo para desenhar no papel). Vou descrever uma planificação simples e muito comum — fácil de desenhar e dobrar: três quadrados em linha com um quadrado acima do do meio, um abaixo do do meio e o sexto à direita do quadrado da direita. Faça assim:
- Desenhe um quadrado de lado
— esse será o quadrado central (vou chamá‑lo de , a “face base” no centro da planificação). - À esquerda de
, com a aresta em comum, desenhe outro quadrado de lado (chame de ). A aresta que unem e mede . - À direita de
, desenhe outro quadrado de lado (chame de ). Agora você tem três quadrados em linha: — — . - Acima de
(compartilhando a aresta superior de ) desenhe um quadrado de lado (chame de ). - Abaixo de
(compartilhando a aresta inferior de ) desenhe um quadrado de lado (chame de ). - Agora falta o sexto quadrado: desenhe um quadrado de lado
à direita de (compartilhando a aresta direita de ). Chame esse de .
Verifique no desenho: você tem seis quadrados, cada aresta entre quadrados mede. Esse desenho é uma planificação válida do cubo.
Passo 6
Por que essa planificação fecha corretamente quando dobrada (intuição passo a passo).
-
é o quadrado central; são as quatro faces laterais que se dobram para cima ao redor de , formando a “cintura” do cubo. - O quadrado
, que está à direita de , ao ser dobrado sobre a aresta que une a ficará encostado em oposição a , fechando o topo do cubo. - Cada aresta entre quadrados no plano corresponde a uma aresta do cubo; ao dobrar corretamente, não falta nem sobra face: todas as
faces se encontram sem sobreposição indevida.
Se quiser reforçar: marque com números ou cores as arestas correspondentes antes de dobrar (isso ajuda a ver quais bordas se juntam).
Passo 7
Instrução prática para recortar e montar (se quiser um modelo físico).
- Recorte a planificação desenhada com cuidado ao longo das linhas externas. Não corte nas arestas internas (essas serão as dobras).
- Faça vincos nas arestas internas (use a lâmina sem cortar ou uma régua e um objeto sem corte para marcar o vinco). Vingar ajuda a dobrar com precisão.
- Dobre as faces
ao redor de para formar as paredes. Dobre e encaixe colando a sua aresta em contato com a face oposta de . Use fita adesiva ou cola nas abas interiores. - Conferência final: todas as arestas devem medir
e cada vértice deve resultar da interseção de três arestas.
Passo 8
Observação útil (para prova): existem
planificações distintas possíveis de um cubo (ou seja, 11 redes não congruentes), então sua resposta é aceitar qualquer planificação correta. A que descrevi é uma delas — simples de desenhar e de montar — e basta para a tarefa pedida.
Resposta
Uma planificação válida é composta por seis quadrados de lado
: três em linha (esquerdo, central, direito), um quadrado acima do central, um abaixo do central e o sexto quadrado à direita do quadrado direito.