Use o método de Gauss-Jordan para inverter
A_{1}=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right), \quad A_{2}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\\\ -1 & 2 & -1 \\\\ 0 & -1 & 2 \end{array}\right), \quad A_{3}=\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right) .

Passo 1

O enunciado pede para inverter as matrizes
A_{1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},\quad A_{2}=\begin{pmatrix}2 & -1 & 0 \\\\ -1 & 2 & -1 \\\\ 0 & -1 & 2\end{pmatrix},\quad A_{3}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}
pelo método de Gauss–Jordan, que consiste em montar a matriz aumentada \bigl[A\mid I\bigr] e usar operações elementares de linha (troca de linhas, multiplicação por escalar, soma de múltiplos) até obter \bigl[I\mid A^{-1}\bigr].

Passo 2

Inversão de A_{1}. Montamos
\bigl[A_{1}\mid I\bigr] =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \mid 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 \mid 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \mid 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Aplicamos \,R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1};e; R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{3},
obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \mid 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 \mid -1 & 1 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 \mid 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Já temos a forma \bigl[I\mid A_{1}^{-1}\bigr], logo
A_{1}^{-1} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -1 & 1 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Inversão de A_{2}. Montamos
\bigl[A_{2}\mid I\bigr] =\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \mid 1 & 0 & 0\\\\ -1 & 2 & -1 \mid 0 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 2 \mid 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
  1. Normalizamos R_{1} dividindo por 2:
    R_{1}\leftarrow\frac12R_{1}.
  2. Eliminamos coluna 1 em R_{2}: R_{2}\leftarrow R_{2}+R_{1}.
  3. Pivot na linha 2: dividimos R_{2} por 3/2.
  4. Usamos R_{2} para zerar coluna 2 em R_{1} e R_{3}.
  5. Pivot na linha 3: normalizamos dividindo por 4/3.
  6. Finalmente, eliminamos coluna 3 em R_{1} e R_{2}.
Após essas operações chega-se a
\bigl[I\mid A_{2}^{-1}\bigr] =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \mid \tfrac{3}{4} & \tfrac12 & \tfrac14\\\\ 0 & 1 & 0 \mid \tfrac12 & 1 & \tfrac12\\\\ 0 & 0 & 1 \mid \tfrac14 & \tfrac12 & \tfrac34 \end{pmatrix},
logo
A_{2}^{-1} =\begin{pmatrix} \frac34 & \frac12 & \frac14\\\ \frac12 & 1 & \frac12\\\ \frac14 & \frac12 & \frac34 \end{pmatrix}.

Passo 4

Inversão de A_{3}. Montamos
\bigl[A_{3}\mid I\bigr] =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \mid 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \mid 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 \mid 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
  1. Trocamos R_{1}\leftrightarrow R_{3} para ter pivô em (1,1).
  2. Usamos R_{1} para zerar abaixo e acima na coluna 1 (já são zeros).
  3. Eliminamos elemento (1,2) com R_{1}\leftarrow R_{1}-R_{2}.
  4. Pivot na linha 3 já é 1; usamos para zerar coluna 3 em R_{2}.
No fim obtemos
\bigl[I\mid A_{3}^{-1}\bigr] =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \mid 0 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 \mid -1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \mid 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},
logo
A_{3}^{-1} =\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\\\ -1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

A_{1}^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -1 & 1 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad A_{2}^{-1}=\begin{pmatrix} \frac34 & \frac12 & \frac14\\\ \frac12 & 1 & \frac12\\\ \frac14 & \frac12 & \frac34 \end{pmatrix},\quad A_{3}^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\\\ -1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

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