Seja \mathrm{r}(\mathrm{t})=\left(2 \mathrm{t}, 3 \mathrm{t}, \mathrm{t}^{2}\right). Calcule \mathrm{r}^{\prime}(\mathrm{t}) e determine a direção do movimento no instante \mathrm{t}= 1.

Passo 1

O enunciado dá a função vetor \mathrm{r}(\mathrm{t})=\left(2\mathrm{t},\,3\mathrm{t},\,\mathrm{t}^{2}\right).
Pede duas coisas:
  1. Calcular \mathrm{r}^{\prime}(\mathrm{t}).
  2. Determinar a direção do movimento no instante \mathrm{t}=1.
As informações relevantes: os componentes da posição são x(\mathrm{t})=2\mathrm{t}, y(\mathrm{t})=3\mathrm{t} e z(\mathrm{t})=\mathrm{t}^{2}.

Passo 2

O que significa \mathrm{r}^{\prime}(\mathrm{t})?
  • Para uma função vetor \mathrm{r}(\mathrm{t})=(x(\mathrm{t}),y(\mathrm{t}),z(\mathrm{t})), a derivada é feita componente a componente:
\mathrm{r}^{\prime}(\mathrm{t})=\bigl(x'(\mathrm{t}),\,y'(\mathrm{t}),\,z'(\mathrm{t})\bigr).
  • Fisicamente, \mathrm{r}^{\prime}(\mathrm{t}) é o vetor velocidade: ele aponta na direção em que o ponto se move naquele instante e seu comprimento é a rapidez (módulo da velocidade).
    Vou usar regras básicas de derivação: a derivada de a\mathrm{t} (com a constante) é a; a regra do poder diz que a derivada de \mathrm{t}^{n} é n\mathrm{t}^{n-1}.

Passo 3

Derivo cada componente aplicando as regras mencionadas:
  • Para x(\mathrm{t})=2\mathrm{t}, temos x'(\mathrm{t})=2 (porque a derivada de a\mathrm{t} é a).
  • Para y(\mathrm{t})=3\mathrm{t}, temos y'(\mathrm{t})=3.
  • Para z(\mathrm{t})=\mathrm{t}^{2}, aplicando a regra do poder: z'(\mathrm{t})=2\mathrm{t}.

Passo 4

Juntando as componentes derivadas, obtemos a derivada da função vetor:
\mathrm{r}^{\prime}(\mathrm{t})=\left(2,\,3,\,2\mathrm{t}\right).
Isso significa: em cada instante \mathrm{t} o vetor velocidade tem essas componentes.

Passo 5

Agora o instante pedido é \mathrm{t}=1. Avaliando:
\mathrm{r}^{\prime}(1)=\left(2,\,3,\,2\cdot 1\right)=(2,\,3,\,2).
Esse vetor (2,3,2) indica a direção do movimento no instante \mathrm{t}=1 (aponta para onde a partícula está se movendo naquele instante).
Se quisermos a direção apenas como vetor unitário (isto é, a direção sem considerar a rapidez), normalizamos \mathrm{r}^{\prime}(1). O módulo é
\|\mathrm{r}^{\prime}(1)\|=\sqrt{2^{2}+3^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+9+4}=\sqrt{17}.
Logo o vetor unitário na direção do movimento em \mathrm{t}=1 é
\mathbf{T}(1)=\frac{1}{\sqrt{17}}\bigl(2,\,3,\,2\bigr).

Resposta

\mathrm{r}^{\prime}(\mathrm{t})=\left(2,\,3,\,2\mathrm{t}\right)
Direção do movimento em \mathrm{t}=1: vetor velocidade \,(2,\,3,\,2) e vetor unitário \dfrac{1}{\sqrt{17}}(2,\,3,\,2)

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