Seja
. Calcule
e determine a direção do movimento no instante
1.
Passo 1
O enunciado dá a função vetor
.
Pede duas coisas:
Pede duas coisas:
- Calcular
. - Determinar a direção do movimento no instante
.
As informações relevantes: os componentes da posição são
,
e
.
Passo 2
O que significa
?
- Para uma função vetor
, a derivada é feita componente a componente:
- Fisicamente,
é o vetor velocidade: ele aponta na direção em que o ponto se move naquele instante e seu comprimento é a rapidez (módulo da velocidade).
Vou usar regras básicas de derivação: a derivada de(com constante) é ; a regra do poder diz que a derivada de é .
Passo 3
Derivo cada componente aplicando as regras mencionadas:
- Para
, temos (porque a derivada de é ). - Para
, temos . - Para
, aplicando a regra do poder: .
Passo 4
Juntando as componentes derivadas, obtemos a derivada da função vetor:
Isso significa: em cada instante
o vetor velocidade tem essas componentes.
Passo 5
Agora o instante pedido é
. Avaliando:
Esse vetor
indica a direção do movimento no instante
(aponta para onde a partícula está se movendo naquele instante).
Se quisermos a direção apenas como vetor unitário (isto é, a direção sem considerar a rapidez), normalizamos
. O módulo é
Logo o vetor unitário na direção do movimento em
é
Resposta
Direção do movimento em