Dada \r \vec{r}(t)=\left(e^{t}, \ln t\right)\r e \r f(t)=\vec{r}(t) \cdot \vec{r}(-t)\r, calcule \r f^{\prime}(t)\r usando a definição do produto escalar.

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetor \vec{r}(t) = (e^{t}, \ln t)
e define a escalar
f(t) = \vec{r}(t)\cdot\vec{r}(-t).
O objetivo é achar f'(t). Vamos precisar usar:
  1. A definição do produto escalar em \mathbb{R}^2, ou seja \,(a,b)\cdot(c,d)=ac+bd.
  2. A regra da cadeia para derivar composições como \ln(-t).
  3. A regra do produto e a soma de derivadas.

Passo 2

Primeiro encontramos \vec{r}(-t) trocando t por -t em cada componente de \vec{r}:
\vec{r}(-t) = \bigl(e^{-t},\,\ln(-t)\bigr).

Passo 3

Agora escrevemos f(t) pelo produto escalar:
f(t) = \vec{r}(t)\cdot\vec{r}(-t) = e^{t}\cdot e^{-t} \;+\;\ln t\;\cdot\;\ln(-t).
Como e^{t}e^{-t}=1, obtemos
f(t) = 1 + \ln t\;\ln(-t).

Passo 4

Para derivar, usamos a soma e a regra do produto em \ln t\;\ln(-t):
f'(t) = 0 + \frac{d}{dt}\bigl[\ln t\;\ln(-t)\bigr] = \bigl(\ln(-t)\bigr)\frac{d}{dt}(\ln t) + \bigl(\ln t\bigr)\frac{d}{dt}\bigl(\ln(-t)\bigr).

Passo 5

Calculamos cada derivada interna:
\frac{d}{dt}(\ln t) = \frac{1}{t}, \qquad \frac{d}{dt}\bigl(\ln(-t)\bigr) = \frac{1}{-t}\cdot(-1) = \frac{1}{t}.

Passo 6

Substituindo em f'(t):
f'(t) = \ln(-t)\,\frac{1}{t} \;+\;\ln t\,\frac{1}{t} = \frac{\ln(-t) + \ln t}{t}.

Resposta

f'(t) = \frac{\ln t + \ln(-t)}{t}.

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