Seja \r \vec{r}(t)=(\cos t, \sin t)\r e \r f(t)=\|\vec{r}(t)\|^{2}\r. Calcule \r \frac{d}{d t}(f \circ \vec{r})(t)\r.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica \vec r(t)=(\cos t,\sin t) e a função f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=x^2+y^2.
Queremos calcular
\frac{d}{dt}\bigl(f\circ\vec r\bigr)(t) =\frac{d}{dt}\bigl(f(\vec r(t))\bigr).
O conteúdo principal é a regra da cadeia em funções de várias variáveis, usando gradiente e produto escalar.

Passo 2

Escrevemos explicitamente a composição:
(f\circ\vec r)(t) = f\bigl(\cos t,\sin t\bigr) =(\cos t)^2+(\sin t)^2.
Uma abordagem é derivar diretamente essa soma; outra é usar a forma vetorial com gradiente.

Passo 3

Pela regra da cadeia para f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} e \vec r\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2, vale
\frac{d}{dt}f(\vec r(t)) =\nabla f\bigl(\vec r(t)\bigr)\;\cdot\;\vec r\,'(t).

Passo 4

Calculamos as partes:
\nabla f(x,y)=(2x,2y),
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\nabla f\bigl(\vec r(t)\bigr) =(2\cos t,\;2\sin t), \qquad \vec r\,'(t)=(-\sin t,\;\cos t).

Passo 5

Fazendo o produto escalar:
\bigl(2\cos t,2\sin t\bigr)\cdot(-\sin t,\cos t) =2\cos t\;(-\sin t)+2\sin t\;\cos t =0.
Portanto
\frac{d}{dt}\bigl(f\circ\vec r\bigr)(t)=0.

Resposta

0

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