Considere \r \vec{r}(t)=(\ln t, \sqrt{t})\r e \r f(x, y)=x y^{2}\r. Calcule \r \frac{d}{d t}[f(\vec{r}(t))]\r.

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial \vec r(t) = (\ln t,\;\sqrt t)
e a função escalar \;f(x,y)=x\,y^2.
Pede-se \dfrac{d}{dt}\bigl[f\bigl(\vec r(t)\bigr)\bigr].
Para isso vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis e, de modo equivalente, observar que f(\vec r(t)) se reduz a um produto de funções de t.

Passo 2

Primeiro compomos f com \vec r. Temos
f\bigl(\vec r(t)\bigr) = f\bigl(\ln t,\;\sqrt t\bigr) = (\ln t)\,\bigl(\sqrt t\bigr)^2 = (\ln t)\,t = t\,\ln t.

Passo 3

Agora derivamos t\ln t usando a regra do produto. Se
u(t)=t \quad\text{e}\quad v(t)=\ln t,
então
u'(t)=1, \quad v'(t)=\frac1t,
e
\frac{d}{dt}[t\ln t] = u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t) = 1\cdot\ln t + t\cdot\frac1t = \ln t + 1.

Resposta

\frac{d}{dt}\bigl[f(\vec r(t))\bigr] = \ln t + 1.

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