Dada a região
abaixo determine:
Reescreva a integral abaixo em coordenadas esféricas: (10 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você tem pede para reescrever uma integral tripla em coordenadas esféricas. A região de integração é a esfera unitária, ou seja, todos os pontos
que satisfazem
. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de cálculo multivariável, especificamente a mudança para coordenadas esféricas. Vamos precisar entender como converter as coordenadas cartesianas
para esféricas
e ajustar a integral com o elemento de volume apropriado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são definidas as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por três parâmetros:
-
: a distância do ponto até a origem. -
: o ângulo no plano a partir do eixo (ângulo azimutal). -
: o ângulo a partir do eixo (ângulo polar).
As relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas são:
Essas equações vão nos ajudar a transformar a integral.
Passo 3
Agora, precisamos substituir
,
e
na integral original pelas expressões em coordenadas esféricas. Além disso, quando mudamos de coordenadas, o elemento de volume
também muda. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é dado por:
Isso significa que toda a integral vai ser multiplicada por
.
Passo 4
Vamos também ajustar os limites de integração para as coordenadas esféricas. Como a região
é a esfera unitária:
-
varia de a (raio da esfera). -
varia de a (circunferência completa). -
varia de a (do polo norte ao polo sul).
Resposta
Reescrevendo a integral em coordenadas esféricas, temos: