Dada a região B abaixo determine:
B=(x, y, z) mid x^2+y^2+z^2 <= 1
Reescreva a integral abaixo em coordenadas esféricas: (10 pontos)
integralegral triplaB e^(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 d V

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você tem pede para reescrever uma integral tripla em coordenadas esféricas. A região de integração é a esfera unitária, ou seja, todos os pontos (x, y, z) que satisfazem x^2 + y^2 + z^2 <= 1. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de cálculo multivariável, especificamente a mudança para coordenadas esféricas. Vamos precisar entender como converter as coordenadas cartesianas (x, y, z) para esféricas (r, theta, phi) e ajustar a integral com o elemento de volume apropriado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são definidas as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por três parâmetros:
  • r: a distância do ponto até a origem.
  • theta: o ângulo no plano xy a partir do eixo x (ângulo azimutal).
  • phi: o ângulo a partir do eixo z (ângulo polar).
As relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas são:
x = r sin phi cos theta y = r sin phi sin theta z = r cos phi
Essas equações vão nos ajudar a transformar a integral.

Passo 3

Agora, precisamos substituir x, y e z na integral original pelas expressões em coordenadas esféricas. Além disso, quando mudamos de coordenadas, o elemento de volume dV também muda. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é dado por:
dV = r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta
Isso significa que toda a integral vai ser multiplicada por r^2 sin phi.

Passo 4

Vamos também ajustar os limites de integração para as coordenadas esféricas. Como a região B é a esfera unitária:
  • r varia de 0 a 1 (raio da esfera).
  • theta varia de 0 a 2pi (circunferência completa).
  • phi varia de 0 a pi (do polo norte ao polo sul).

Resposta

Reescrevendo a integral em coordenadas esféricas, temos:
integral0^2pi integral0^pi integral0^1 e^r^3 , r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta

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