Para as sequências abaixo, associe-as às funções correspondentes e use Regra de lHôpital para calcular seus respectivos limites.
lim n infty raiz[n]c onde c>0.

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência an=raiz[n]c quando ntoinfty, com c>0. O conteúdo envolve limites de sequências e aplicação da Regra de l’Hôpital para a parte que surgir em forma indeterminada.

Passo 2

Para usar cálculo de funções contínuas, associamos an à função real f(x)=c^1/x, válida para x>0. Assim, limntoinftyan=limxtoinftyf(x).

Passo 3

Reescrevemos f(x) usando exponencial para facilitar o limite:
f(x)=c^1/x=e^lnl(c^1/xr)=e^1xln c

Passo 4

Precisamos então de limxtoinftydfracln cx. Essa é uma forma do tipo constante sobre infinito, mas podemos ilustrar com l’Hôpital:
Consideramos g(x)=dfracln cx. Temos forma tfracconstinfty, que é 0. Se aplicássemos l’Hôpital:
limxtoinftyln cx=limxtoinfty01=0
Como o expoente tende a 0, o limite da função é
limxtoinftyf(x)=e^0=1
Portanto, a sequência an também converge para 1.

Resposta

1

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