Resolva o problema de valor inicial dado e determine como o intervalo no qual a soluçao existe depende do valor inicial y0.
y^prime=-4 t / y, y(0)=y0

Passo 1

A questão nos dá o problema de valor inicial y'= -4t/y, com y(0)=y0. O conteúdo é separação de variáveis para resolver a EDO e depois identificar o intervalo em que a solução faz sentido.

Passo 2

Separamos variáveis escrevendo y,dy = -4t,dt. Integrando ambos os lados, obtemos
integral y,dy = integral -4t,dt
o que leva a
tfrac12 y^2 = -2t^2 + C .

Passo 3

Usamos a condição inicial y(0)=y0. Substituindo t=0 e y=y0 em tfrac12 y^2 = -2t^2 + C, vem
tfrac12 y0^2 = C .

Passo 4

Voltando à expressão geral, temos
tfrac12 y^2 = -2t^2 + tfrac12 y0^2
Multiplicando por 2,
y^2 = y0^2 - 4t^2
Logo
y(t) = pmraizy0^2 - 4t^2
Para atender y(0)=y0, escolhemos o sinal + se y0>0 e - se y0<0.

Passo 5

Para a raiz ser real, precisamos de
y0^2 - 4t^2 >= 0
o que implica
|t| <= |y0|2
Assim, a solução existe no intervalo máximo
l(-tfrac|y0|2,,tfrac|y0|2r)

Resposta

y(t)=\mathrm{sgn}(y_{0})\sqrt{y_{0}2-4t2}, com existência para |t|<|y_{0}|/2.

Exercícios relacionados