Resolva o problema de valor inicial dado e determine como o intervalo no qual a soluçao existe depende do valor inicial
.
Passo 1
A questão nos dá o problema de valor inicial
com
. O conteúdo é separação de variáveis para resolver a EDO e depois identificar o intervalo em que a solução faz sentido.
Passo 2
Separamos variáveis escrevendo
. Integrando ambos os lados, obtemos
o que leva a
Passo 3
Usamos a condição inicial
. Substituindo
e
em
, vem
Passo 4
Voltando à expressão geral, temos
Multiplicando por 2,
Logo
Para atender
, escolhemos o sinal
se
e
se
.
Passo 5
Para a raiz ser real, precisamos de
o que implica
Assim, a solução existe no intervalo máximo
Resposta
y(t)=\mathrm{sgn}(y_{0})\sqrt{y_{0}2-4t2}, com existência para |t|<|y_{0}|/2.