Um motor derivação, 230 V , tendo uma resistência da armadura de 0,05 \Omega e uma resistência do campo de 75 \Omega, quando ligado em vazio, solicita uma corrente da linha de 7 A e gira a 1120 rpm . A corrente de linha a uma certa carga é 46 A.
Determine:
a) A velocidade do motor para esta carga;
b) O rendimento do motor;
c) As perdas totais mecânicas e no núcleo.

Passo 1

Enunciado e dados (o que é pedido e o que foi dado):
  • Tensão da linha: V=230\\ \text{V}.
  • Resistência do indutor de armadura: R_a=0{,}05\\ \Omega.
  • Resistência do circuito de campo: R_f=75\\ \Omega.
  • Corrente de linha em vazio: I_{\text{linha0}}=7\\ \text{A}.
  • Velocidade em vazio: n_0=1120\\ \text{rpm}.
  • Corrente de linha sob carga dada: I_{\text{linha}}=46\\ \text{A}.
Perguntas:
a) Determinar a velocidade do motor para a corrente de linha I_{\text{linha}}=46\\ \text{A}.
b) Determinar o rendimento (eficiência) do motor para essa carga.
c) Determinar as perdas totais mecânicas e no núcleo (isto é, as perdas rotacionais + perdas no ferro), assumidas constantes.

Passo 2

Conceitos principais e fórmulas que vamos usar (explicadinhas):
  • Em motor de derivação (campo em paralelo), a corrente de campo é praticamente constante porque o campo está ligado diretamente à tensão de linha. A corrente de campo é
I_f=\frac{V}{R_f}.
Aqui I_f é a corrente do enrolamento de campo, V a tensão de alimentação e R_f a resistência do campo.
  • A corrente de armadura é a diferença entre a corrente total de linha e a corrente de campo:
I_a=I_{\text{linha}}-I_f.
  • A força eletromotriz contra-eletromotriz (f.e.m. de armadura), que chamo de E_b, é dada pela tensão aplicada menos a queda resistiva na armadura:
E_b = V - I_a R_a.
  • Para um motor shunt com fluxo praticamente constante, a f.e.m. E_b é proporcional à velocidade n. Portanto, se E_{b0} é a f.e.m. em vazio com velocidade n_0, então para outra f.e.m. E_b a velocidade é
n = n_0 \frac{E_b}{E_{b0}}.
  • Potência convertida em mecânica (potência desenvolvida no eixo antes de perdas rotacionais) é
P_{\text{dev}} = E_b \, I_a.
  • Perdas elétricas nas resistências: perdas no campo P_f = V I_f e perdas na armadura P_{a,\text{cu}} = I_a^2 R_a.
  • A potência elétrica de entrada é
P_{\text{in}} = V I_{\text{linha}}.
  • A potência útil de saída no eixo (potência útil mecânica) será a potência desenvolvida menos as perdas mecânicas + perdas no núcleo (estas últimas as que queremos determinar). Em vazio a potência útil é praticamente zero, então toda a potência desenvolvida em vazio é consumida pelas perdas mecânicas + de núcleo (assumidas constantes).

Passo 3

Calcular a corrente de campo I_f (passo simples e importantíssimo):
I_f=\frac{V}{R_f}=\frac{230}{75}= \; \frac{46}{15}\\ \text{A}\approx 3{,}0667\\ \text{A}.
Esse valor é fixo enquanto a tensão de linha for 230\\ \text{V}.

Passo 4

Calcular a corrente de armadura em vazio e a f.e.m. em vazio:
  • Corrente de armadura em vazio:
I_{a0}=I_{\text{linha0}}-I_f = 7 - \frac{46}{15} = \frac{59}{15}\\ \text{A}\approx 3{,}9333\\ \text{A}.
  • f.e.m. em vazio:
E_{b0}=V - I_{a0}R_a = 230 - \frac{59}{15}\cdot 0{,}05.
Calcule a queda: \frac{59}{15}\cdot 0{,}05=\frac{59}{300}\approx 0{,}1967\\ \text{V}. Então
E_{b0}=230 - 0{,}196666\ldots = 229{,}803333\\ \text{V}.

Passo 5

Explicar como a velocidade varia com a f.e.m. e aplicar para achar a velocidade em carga:
Como dito, para fluxo praticamente constante n \propto E_b. Logo
n = n_0 \frac{E_b}{E_{b0}}.
Precisamos então calcular E_b quando a corrente da linha é 46\\ \text{A}.

Passo 6

Calcular a corrente de armadura e a f.e.m. com I_{\text{linha}}=46\\ \text{A}:
  • Corrente de armadura sob carga:
I_a = I_{\text{linha}} - I_f = 46 - \frac{46}{15} = \frac{644}{15}\\ \text{A}\approx 42{,}9333\\ \text{A}.
  • f.e.m. sob carga:
E_b = V - I_a R_a = 230 - \frac{644}{15}\cdot 0{,}05.
A queda é \frac{644}{15}\cdot 0{,}05=\frac{644}{300}=2{,}146666\ldots\\ \text{V}. Logo
E_b = 230 - 2{,}146666\ldots = 227{,}853333\\ \text{V}.

Passo 7

Calcular a velocidade sob carga usando a razão das f.e.m.:
n = 1120 \cdot \frac{E_b}{E_{b0}} = 1120 \cdot \frac{227{,}853333}{229{,}803333}.
Fazendo a divisão e multiplicação obtemos
n \approx 1110{,}50\\ \text{rpm}.
(Interpretação: a velocidade caiu pouco, porque a queda I_a R_a é pequena comparada à tensão total.)

Passo 8

Agora vamos calcular as potências importantes para eficiência e para achar as perdas mecânicas+núcleo:
  • Potência desenvolvida em vazio (que é, por definição, consumida pelas perdas mecânicas+núcleo em vazio):
P_{\text{dev0}} = E_{b0} I_{a0} = 229{,}803333\cdot 3{,}933333 \approx 903{,}8931\\ \text{W}.
Portanto as perdas mecânicas+núcleo (constantes) valem aproximadamente 903{,}8931\\ \text{W}.
Explicação: em vazio não há potência útil no eixo, então a potência que a armadura “desenvolve” é gasta nas perdas rotacionais e no ferro; por isso conseguimos obtê-las diretamente desse ensaio de vazio.

Passo 9

Calcular as potências em carga (com I_{\text{linha}}=46\\ \text{A}):
  • Potência desenvolvida sob carga:
P_{\text{dev}} = E_b I_a = 227{,}853333\cdot 42{,}933333 \approx 9782{,}5036\\ \text{W}.
  • Perdas na armadura (perdas Joule):
P_{a,\text{cu}} = I_a^2 R_a = \left(\frac{644}{15}\right)^2\cdot 0{,}05 \approx 92{,}1636\\ \text{W}.
  • Perdas no campo (Joule no enrolamento de campo):
P_f = V I_f = 230\cdot \frac{46}{15} = \frac{10580}{15}\approx 705{,}3333\\ \text{W}.
  • As perdas mecânicas+núcleo (constantes) já obtidas:
P_{m+f}=P_{\text{dev0}}\approx 903{,}8931\\ \text{W}.

Passo 10

Calcular potência útil de saída e eficiência:
  • Potência útil no eixo (saída) é a potência desenvolvida menos as perdas mecânicas+núcleo:
P_{\text{out}} = P_{\text{dev}} - P_{m+f} \approx 9782{,}5036 - 903{,}8931 = 8878{,}6105\\ \text{W}.
  • Potência de entrada total:
P_{\text{in}} = V I_{\text{linha}} = 230\cdot 46 = 10580\\ \text{W}.
  • Eficiência:
\eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}} = \frac{8878{,}6105}{10580}\approx 0{,}8393 \Rightarrow 83{,}93\%.

Passo 11

Verificação rápida somando perdas: P_{\text{in}}-P_{\text{out}} deve ser a soma das perdas:
P_{\text{in}}-P_{\text{out}}=10580 - 8878{,}6105 \approx 1701{,}3895\\ \text{W},
e
P_f + P_{a,\text{cu}} + P_{m+f}\approx 705{,}3333 + 92{,}1636 + 903{,}8931 \approx 1701{,}3900\\ \text{W},
concordância dentro de arredondamento — tudo consistente.

Resposta

a) n \approx 1110{,}50\\ \text{rpm}
b) \eta \approx 83{,}93\%
c) Perdas mecânicas + perdas no núcleo: P_{m+f}\approx 903{,}89\\ \text{W}

Exercícios relacionados